Hei, jeg trenger hjelp med to oppgaver. Forstår ikke hva som er feil.
1:
https://imma.gr/86858xaa000
Her fulgte jeg denne videoen, som er samme oppgave men med ulike tall: https://www.youtube.com/watch?v=rPPvyQynTSs
parametriserte slik som hun, ganga integralet med 2 for å få heile lengda osv. Men svaret mitt blir ikke riktig? Har ikke med første del av min oppgaveløsning, da jeg skrev den på papir, men dere ser hvilke parametriseringer jeg kom frem til.
2.
https://imma.gr/86859xf068e
Her deriverte jeg kurven r for å finne hastighetsvektoren. Fann lengden av den vha sqrt ( a^2+b^2+c^2). gjorde tilsvarende for å finne lengda av akselerasjonen. Men her og har jeg gjort noe feil, da ingen av svara jeg prøver på gir riktig
Hva er feil i disse to oppgavene?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Mattebruker
Problem: Finn total lengde av skjeringskurva mellom kuleflata
( 1 ) x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{8}[/tex]
og den elliptiske sylinderen
( 2 ) 8 x[tex]^{2}[/tex] + 11 z[tex]^{2}[/tex] = 1
Forslag til løysing: Ellipselikninga kan skrivast på forma
[tex]\frac{x^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{8}})^{2}}[/tex] + [tex]\frac{z^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{11}})^{2}}[/tex] = 1
På parameterform:
x = [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] , [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex] [0 , 2[tex]\pi[/tex] [tex]>[/tex]
z = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
Ved innsetjing i ( 1 ) endar vi opp med
y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
x'([tex]\varphi[/tex]) = - [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
y'([tex]\varphi[/tex] ) = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]
z'([tex]\varphi[/tex]) = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]
Bogelengda( L ) av skjeringskurva mellom sylinder og eine halvkula:
L = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex][tex]\sqrt{x'(\varphi )^{2}+y'(\varphi )^{2}+z'(\varphi )^{2}}[/tex]d[tex]\varphi[/tex]= [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
Sylinder skjer begge halvkulene ( symmetri om xz-planet ). Det gir samla bogelengde
2 L = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
( 1 ) x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{8}[/tex]
og den elliptiske sylinderen
( 2 ) 8 x[tex]^{2}[/tex] + 11 z[tex]^{2}[/tex] = 1
Forslag til løysing: Ellipselikninga kan skrivast på forma
[tex]\frac{x^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{8}})^{2}}[/tex] + [tex]\frac{z^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{11}})^{2}}[/tex] = 1
På parameterform:
x = [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] , [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex] [0 , 2[tex]\pi[/tex] [tex]>[/tex]
z = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
Ved innsetjing i ( 1 ) endar vi opp med
y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
x'([tex]\varphi[/tex]) = - [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
y'([tex]\varphi[/tex] ) = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]
z'([tex]\varphi[/tex]) = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]
Bogelengda( L ) av skjeringskurva mellom sylinder og eine halvkula:
L = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex][tex]\sqrt{x'(\varphi )^{2}+y'(\varphi )^{2}+z'(\varphi )^{2}}[/tex]d[tex]\varphi[/tex]= [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
Sylinder skjer begge halvkulene ( symmetri om xz-planet ). Det gir samla bogelengde
2 L = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
-
skjønnerikkee
Tusen takk! Nå skjønner jeg hvordan den skal løses. Er ikke helt komfortabel med å skrive om til ellipseform o.l enda, så da vet jeg hva jeg må øve på 
-
josi
Ender man ikke opp med integralet L = $\int_0^{2\pi} \sqrt\frac18 dt$ ?Mattegjest skrev:Problem: Finn total lengde av skjeringskurva mellom kuleflata
( 1 ) x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{8}[/tex]
og den elliptiske sylinderen
( 2 ) 8 x[tex]^{2}[/tex] + 11 z[tex]^{2}[/tex] = 1
Forslag til løysing: Ellipselikninga kan skrivast på forma
[tex]\frac{x^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{8}})^{2}}[/tex] + [tex]\frac{z^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{11}})^{2}}[/tex] = 1
På parameterform:
x = [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] cos[tex]\varphi[/tex] , [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex] [0 , 2[tex]\pi[/tex] [tex]>[/tex]
z = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
Ved innsetjing i ( 1 ) endar vi opp med
y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
x'([tex]\varphi[/tex]) = - [tex]\frac{1}{\sqrt{8}}[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]
y'([tex]\varphi[/tex] ) = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]
z'([tex]\varphi[/tex]) = [tex]\frac{1}{\sqrt{11}}[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]
Bogelengda( L ) av skjeringskurva mellom sylinder og eine halvkula:
L = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex][tex]\sqrt{x'(\varphi )^{2}+y'(\varphi )^{2}+z'(\varphi )^{2}}[/tex]d[tex]\varphi[/tex]= [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
Sylinder skjer begge halvkulene ( symmetri om xz-planet ). Det gir samla bogelengde
2 L = 2[tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
Som gir L = $\frac {\pi}{\sqrt2}$. To slike skjæringslinjer gir
$2*\frac {\pi}{\sqrt2}$
-
Mattebruker
Josi har heilt rett. Oppdaga sjølv denne feilen ved kontrollrekning.
Utrekninga mi har dessutan ein formell feil:
Skriv ellipselikninga på parameterform slik som vist i løysingforslaget mitt.
Set inn for x og z i kulelikninga. Da endar eg opp med
y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{88}[/tex] sin[tex]^{2}[/tex]y [tex]\Rightarrow[/tex]y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] [tex]\left | siny \right |[/tex].
I løysingforslaget mitt har eg ikkje " absoluttverdien av y " , men denne feilen har, så vidt eg kan sjå , ingen innverknad på sluttresultatet.
Vil gjerne ha tilbakemelding på denne kommentaren.
Utrekninga mi har dessutan ein formell feil:
Skriv ellipselikninga på parameterform slik som vist i løysingforslaget mitt.
Set inn for x og z i kulelikninga. Da endar eg opp med
y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{88}[/tex] sin[tex]^{2}[/tex]y [tex]\Rightarrow[/tex]y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex] [tex]\left | siny \right |[/tex].
I løysingforslaget mitt har eg ikkje " absoluttverdien av y " , men denne feilen har, så vidt eg kan sjå , ingen innverknad på sluttresultatet.
Vil gjerne ha tilbakemelding på denne kommentaren.
-
Mattebruker
y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{88}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin[tex]^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] y = [tex]\frac{3}{88}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex] ( absoluttverdien av sin[tex]\varphi[/tex] )
-
Mattebruker
Ser no at vi kan unngå " absoluttverdien av sin[tex]\varphi[/tex] " ved å innskrenke integrasjonsområdet til variablen [tex]\varphi[/tex].
Vi har at y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\cdot[/tex] [tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]= [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin[tex]\varphi[/tex] når [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex][0 , [tex]\pi[/tex] ].
Skjeringskurva mellom kula og den delen av sylinderen som ligg til høgre for xz-planet ( y [tex]\geq[/tex] 0 ) består av to delar som " speglar kvarandre " om xy-planet. Den delen som ligg over xy-planet svarar til 0[tex]\leq[/tex][tex]\varphi[/tex][tex]\leq[/tex] [tex]\pi[/tex].
Denne delen har lengda L[tex]_{1}[/tex] = [tex]\int_{0}^{\pi }[/tex][tex]\sqrt{(x'(\varphi )^{2}+ y'(\varphi )^{2} + z'(\varphi )^{2})}[/tex]d[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{\pi }{2\sqrt{2}}[/tex].
P.g.a. symmetrien om xz-planet får skjeringskurva ei samla lengde
L = 4[tex]\cdot[/tex]L[tex]_{1}[/tex] = [tex]\frac{2\pi }{\sqrt{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
Vi har at y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\cdot[/tex] [tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]= [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\cdot[/tex]sin[tex]\varphi[/tex] når [tex]\varphi[/tex] [tex]\in[/tex][0 , [tex]\pi[/tex] ].
Skjeringskurva mellom kula og den delen av sylinderen som ligg til høgre for xz-planet ( y [tex]\geq[/tex] 0 ) består av to delar som " speglar kvarandre " om xy-planet. Den delen som ligg over xy-planet svarar til 0[tex]\leq[/tex][tex]\varphi[/tex][tex]\leq[/tex] [tex]\pi[/tex].
Denne delen har lengda L[tex]_{1}[/tex] = [tex]\int_{0}^{\pi }[/tex][tex]\sqrt{(x'(\varphi )^{2}+ y'(\varphi )^{2} + z'(\varphi )^{2})}[/tex]d[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{\pi }{2\sqrt{2}}[/tex].
P.g.a. symmetrien om xz-planet får skjeringskurva ei samla lengde
L = 4[tex]\cdot[/tex]L[tex]_{1}[/tex] = [tex]\frac{2\pi }{\sqrt{2}}[/tex] = [tex]\sqrt{2}[/tex][tex]\pi[/tex]
-
josi
Jeg lurer på mulighetene for å finne det analytiske kriteriet for at man får to skjæringskurver, én "foran" xz-plant og én "bak." Kvadratroten av $y^2$ kommer i +/-. Det gir to slike skjæringslinjer.
-
Mattebruker
Likninga y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\frac{3}{88}[/tex] sin[tex]^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]
har to løysingar: y = [tex]\pm[/tex][tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]
Løysinga
y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]
definerer y-området for den delen av skjeringskurva som ligg " foran " xz-planet ( y [tex]\geqslant[/tex] 0 ), medan
y = - [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex] svarar til y-området for den delen
som ligg " bak " ( y [tex]\leq[/tex] 0 ) . Vidare ser vi at dei to kurvedelane " heng i hop " i to punkt: (-1/[tex]\sqrt{8}[/tex], 0 , 0 ) og ( 1/[tex]\sqrt{8}[/tex], 0 , 0 ). Det viser berre at skjeringskurva mellom kula og sylinderen består av to delar som speglar kvarandre om xz-planet. Denne symmetrien kan vi også slutte oss til ut frå ein figuranalyse:
XZ-planet er symmetriplan for både kula og sylinderen , og da må nødvendigvis skjeringa mellom dei to objekta også ligge symmetrisk om dette planet.
har to løysingar: y = [tex]\pm[/tex][tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]
Løysinga
y = [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex]
definerer y-området for den delen av skjeringskurva som ligg " foran " xz-planet ( y [tex]\geqslant[/tex] 0 ), medan
y = - [tex]\sqrt{\frac{3}{88}}[/tex][tex]\left | sin\varphi \right |[/tex] svarar til y-området for den delen
som ligg " bak " ( y [tex]\leq[/tex] 0 ) . Vidare ser vi at dei to kurvedelane " heng i hop " i to punkt: (-1/[tex]\sqrt{8}[/tex], 0 , 0 ) og ( 1/[tex]\sqrt{8}[/tex], 0 , 0 ). Det viser berre at skjeringskurva mellom kula og sylinderen består av to delar som speglar kvarandre om xz-planet. Denne symmetrien kan vi også slutte oss til ut frå ein figuranalyse:
XZ-planet er symmetriplan for både kula og sylinderen , og da må nødvendigvis skjeringa mellom dei to objekta også ligge symmetrisk om dette planet.