Kronblader

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Kronblader

Innlegg Kronblader » 29/01-2020 09:53

La n være et positivt heltall. Kurven Cn har i polarkoordinater ligning

r =sqrt(|sin(nθ)|), 0 ≤ θ ≤ 2π.

Hvor mange kronblader har kurven Cn? Svaret skal begrunnes. Regn ut arealet av området
begrenset av Cn.

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven? Forsøkte å finne integralet til et blad for så å gange med n. Opphevet uttrykket i annen, og integrerte, men usikker på hvilke grenser jeg skal bruke og om dette er riktig måte å løse oppgaven på. Prøvde meg med 0 til pi/4, men mulig det skal være pi/n?
Kronblader offline

Re: Kronblader

Innlegg Kristian Saug » 29/01-2020 12:54

Hei,

[tex]r(\theta )=\sqrt{\begin{vmatrix} sin(n\theta ) \end{vmatrix}}[/tex]
[tex]0<\theta <2\pi[/tex]

Nullpunkter:
[tex]r(\theta )=0[/tex]
[tex]sin(n\theta )=0[/tex]
[tex]n\theta =k\pi[/tex]
[tex]\theta =\frac{k\pi }{n}[/tex]
Første nullpunkt har vi for [tex]k=0[/tex], altså [tex]\theta =0[/tex]
Videre har vi nullpunkter for [tex]\theta[/tex] opp til [tex]2\pi[/tex]
Disse vil utgjøre [tex]k = \frac{2\pi n}{\pi } = 2n[/tex] nullpunkter
Således får vi [tex]2n+1[/tex] nullpunkter
og dermed har kurven Cn [tex]2n[/tex] kronblader

Videre får vi at arealet av området begrenset av Cn blir
[tex]A(n) = 2n \int_{0}^{\frac{\pi }{n}}\begin{vmatrix} \sqrt{sin(nθ)} \end{vmatrix}\approx 4,8[/tex] (uavhengig av n)
Integralet er komplisert og jeg overlater utregningen til noen med høyere kompetanse enn meg.

Men vedlagt er en visualisering av kurven.
Vedlegg
Cn.odt
(50.52 KiB) 28 ganger
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 481
Registrert: 11/11-2019 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 9 gjester