Største areal i ellipse

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Største areal i ellipse

Innlegg Trengerhjelp1234 » 06/02-2020 13:24

https://imma.gr/87353x64f8e

Trenger hjelp her, det stopper opp der jeg har satt kryss
Trengerhjelp1234 offline

Re: Største areal i ellipse

Innlegg Mattegjest » 06/02-2020 16:32

Store halvakse ([tex]\left | \right |[/tex] y-aksen ) b = 14

Vesle halvakse ( [tex]\left | \right |[/tex] x-aksen ) a = 7

La P[tex]_{1}[/tex](x[tex]_{1}[/tex], y[tex]_{1}[/tex] ) vere berøringspunktet i 1. kvadrant.


Av symmetrigrunnar må [tex]\frac{y_{1}}{x_{1}}[/tex] = [tex]\frac{b}{a}[/tex] = [tex]\frac{14}{7}[/tex] = 2

[tex]\Leftrightarrow[/tex] y[tex]_{1}[/tex] = 2x[tex]_{1}[/tex]

Finn x[tex]_{1}[/tex] og y[tex]_{1}[/tex]


Ved innsetjing i ellipselikninga får vi x[tex]_{1}[/tex] = [tex]\frac{7}{\sqrt{2}}[/tex] og y[tex]_{1}[/tex] = 7[tex]\sqrt{2}[/tex]

Maks. areal ( innskrive rektangel ) A = 2x[tex]_{1}[/tex] 2y[tex]_{1}[/tex] = [tex]\frac{14}{\sqrt{2}}\cdot 14\sqrt{2}[/tex]


[tex]\cdot[/tex] = 196
Mattegjest offline

Re: Største areal i ellipse

Innlegg josi » 06/02-2020 23:30

Kommer frem til samme svar ved å maksimere f(x,y) = $x*y$ under bibetingelsen$\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{196} = 1$. Kunne du utdype dine symmetribetraktninger?
josi offline

Re: Største areal i ellipse

Innlegg Kristian Saug » 07/02-2020 09:12

Jeg bruker denne metoden:

I første kvadrant får vi

[tex]y=[/tex][tex]2\sqrt{49-x^{2}}[/tex]

Følgelig blir arealet av det aktuelle rektangelet

[tex]A(x)=8x\sqrt{49-x^{2}}[/tex]

[tex]A'(x)=0[/tex]
gir [tex]x=\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex]
og
[tex]A(\frac{7\sqrt{2}}{2})=196[/tex]

[tex]A''(\frac{7\sqrt{2}}{2})=-32[/tex], og dermed er det en maksimalverdi vi har funnet. ([tex]x=0\vee x=7[/tex] gir minimalverdi, [tex]A(0)=0[/tex])




Skjønt det er jo metoden josi beskriver.
Sist endret av Kristian Saug den 07/02-2020 12:20, endret 1 gang
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Største areal i ellipse

Innlegg Mattegjest » 07/02-2020 10:21

Rektanglet som omsluttar ellipsen er homotetisk ( likeforma ) med det største rektanglet som innskrivast i ellipsen.
( her brukar vi origo som multiplikasjonssentrum( likheitspunkt ) ). P.g.a. symmetrieigenskapane til ellipsen er det tilstrekkeleg å sjå på den delen som ligg i 1. kvadrant ( x[tex]\geq[/tex]0 [tex]\wedge[/tex] y[tex]\geq[/tex]0 )
Den delen av det store rektanglet som ligg her har grunnlinje g = a = 7 og høgde h = b = 14 . Diagonalen som går frå
nedre venste hjørne ( origo ) til øvre høgre hjørne skjer ellipsen i punktet P[tex]_{1}[/tex](x[tex]_{1}[/tex], y[tex]_{1}[/tex] )
som dannar eine hjørnet i det rektanglet vi søkjer. Diagonalen har stigningstal k = [tex]\frac{b}{a}[/tex] = 2, altså er y[tex]_{1}[/tex] = 2x[tex]_{1}[/tex] ( jamfør mitt første innlegg ).
Mattegjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot], MSN [Bot] og 131 gjester