Følger og rekker

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Følger og rekker

Innlegg Lacey22 » 09/02-2020 15:37

Skal finne for hvilke x-verdier rekken konvergerer:

x/(x+1) + x/(x+1)^2 + x/(x+1)^3 +....+ x/(x+1)^n

kommer meg til 1/(x+1) < 1 men vet ikke hvordan jeg skal gå videre?

altså fra -1 < 1/(x+1) < 1 ??
Lacey22 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 14/05-2019 15:00

Re: Følger og rekker

Innlegg Kristian Saug » 09/02-2020 15:49

Ja.

[tex]k=\frac{1}{x+1}[/tex]

[tex]\begin{vmatrix} k \end{vmatrix}<1[/tex]

[tex]\begin{vmatrix} \frac{1}{x+1} \end{vmatrix}<1[/tex]

[tex]\frac{1}{(x+1)^{2}}<1[/tex]

[tex]1<x^{2}+2x+1[/tex]

[tex]x^{2}+2x>0[/tex]

[tex]x(x+2)>0[/tex]


fortegnskjema gir

[tex]x<-2[/tex] [tex]\vee x>0[/tex]
Sist endret av Kristian Saug den 09/02-2020 16:39, endret 3 ganger.
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Følger og rekker

Innlegg Mattegjest » 09/02-2020 16:21

Problem: Finn konvergensområdet til geom. rekkje der kvotienten k = [tex]\frac{1}{x+1}[/tex]

Løysing: Rekkja konv. når

-1 [tex]<[/tex] [tex]\frac{1}{x+1}[/tex] [tex]<[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left | \frac{1}{x+1} \right |[/tex] [tex]<[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left | \frac{1}{x+1} \right |^{2}[/tex] [tex]<[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]\frac{1}{(x+1)^{2}}[/tex] [tex]<[/tex] 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1-(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}}[/tex] [tex]<[/tex] 0

[tex]\Leftrightarrow[/tex] ( konjugatsetninga baklengs ) [tex]\frac{(1 -(x+1))(1 +(x +1))}{(x+1)^{2}}[/tex][tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{-x(x+2)}{(x+1)^{2}}[/tex] [tex]<[/tex] 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] ( mult. ( - 1 ) for å bli kvitt minusteiknet i teljar )

( * ) [tex]\frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}[/tex] [tex]>[/tex] 0

Ulikskapen ( * ) løyser vi ved å stille opp eit forteiknskjema ; ei forteiknslinje for kvar faktor i teljar og ei forteiknslinje
for nemnar ( hugs at eit kvadrat er alltid [tex]\geq[/tex] 0 )
Mattegjest offline

Re: Følger og rekker

Innlegg Kristian Saug » 09/02-2020 16:41

Litt enklere slik:


[tex]k=\frac{1}{x+1}[/tex]

[tex]x\neq -1[/tex]

[tex]\begin{vmatrix} k \end{vmatrix}<1[/tex]

[tex]k^{2}<1[/tex]

[tex]\frac{1}{(x+1)^{2}}<1[/tex]

[tex]1<x^{2}+2x+1[/tex] (siden [tex](x+1)^{2}[/tex] alltid er en positiv verdi ([tex]x\neq -1[/tex]))

[tex]x^{2}+2x>0[/tex]

[tex]x(x+2)>0[/tex]


fortegnskjema gir

[tex]x<-2[/tex] [tex]\vee x>0[/tex]
Sist endret av Kristian Saug den 09/02-2020 18:23, endret 1 gang
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: Følger og rekker

Innlegg Mattegjest » 09/02-2020 17:28

Kristian Saug: " siden (x+1)[tex]^{2}[/tex] alltid er en positiv verdi " . Meiner du å ha full dekning for denne påstanden ?
Mattegjest offline

Re: Følger og rekker

Innlegg Kristian Saug » 09/02-2020 18:17

Mattegjest skrev:Kristian Saug: " siden (x+1)[tex]^{2}[/tex] alltid er en positiv verdi " . Meiner du å ha full dekning for denne påstanden ?


Ja. siden vi her opererer med reelle tall, vil [tex](x+1)^{2}[/tex] alltid være en positiv verdi (eller lik null, selvsagt!) Poenget er at det aldri vil være en negativ verdi og ulikhetstegnet skal ikke snues. Som du også bemerker: "hugs at eit kvadrat er alltid ≥ 0"
At [tex]x\neq -1[/tex] setter vi som betingelse først.
Du ser også at konjugatsetningen er overflødig.
Men, riktig svar ved begge metoder!

Forøvrig er summen av den uendelige rekka

[tex]S(x)=\frac{a_{1}}{1-k}=\frac{\frac{x}{x+1}}{1-\frac{1}{x+1}}=\frac{x}{x+1-1}=\frac{x}{x}=1[/tex]
(vel å merke med betingelsen for konvergensområdet til [tex]x[/tex])
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 152 gjester