Dobbelt integral - volum av sylinder?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Dobbelt integral - volum av sylinder?

Innlegg atlebjarnebob » 13/02-2020 14:46

Kan noen hjelpe meg litt på vei med denne? Av begrensningen [tex]x^2 + y^2 = 2^2[/tex] ser jeg for meg at integralet tilsvarer volumet av et sylinder, og at jeg kan finne volumet ved generell formel for volum av sylinder, men ser ikke hva jeg skal sette som høyde i så fall.
Vedlegg
a7e815ac7b46977dfdaa9276228385c1.png
a7e815ac7b46977dfdaa9276228385c1.png (7.91 KiB) Vist 251 ganger
atlebjarnebob offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 29/01-2020 17:13

Re: Dobbelt integral - volum av sylinder?

Innlegg Emilga » 13/02-2020 15:34

Området $x^2 + y^2 \leq 2^2$ er en sirkel med radius lik $2$ og sentrum i origo. Altså vil vi integrere fra $x = -2$ til $x=2$, og $y = \pm \sqrt{2^2 - x^2}$.

$$ I = \int_{x=-2}^{2} \int_{y= - \sqrt{2^2 - x^2}}^{\sqrt{2^2 - x^2}} \sqrt{2^2 - x^2 - y^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$

(EDIT: kan sikkert også gjøre integralet enklere ved å bruke polarkoordinater.)
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1478
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Dobbelt integral - volum av sylinder?

Innlegg Mattegjest » 13/02-2020 15:36

Innfører sirkelkoordinatar: [tex]\rho[/tex] og [tex]\varphi[/tex] ( 0[tex]\leq[/tex][tex]\rho[/tex][tex]\leq[/tex] 2 , 0[tex]\leq[/tex][tex]\varphi[/tex][tex]\leq[/tex]2[tex]\pi[/tex] )

x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\rho[/tex][tex]^{2}[/tex]

Flateelementet dA = [tex]\rho[/tex] d[tex]\rho[/tex] d[tex]\varphi[/tex]

Ved innsetting i integralet får vi

[tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]([tex]\int_{0}^{2}[/tex][tex]\sqrt{4- \rho ^{2}}[/tex][tex]\rho[/tex] d[tex]\rho[/tex]) d[tex]\varphi[/tex]

Dette dobbelintegralet er løysbart !
[tex]\rho[/tex] - delen finnast ved substitusjon, [tex]\varphi[/tex]- delen er triviell. Lukke til !
Mattegjest offline

Re: Dobbelt integral - volum av sylinder?

Innlegg atlebjarnebob » 13/02-2020 16:42

Takk til begge for svar! Det ble riktig med polarkoordinater, men lurer litt på hvorfor flateelementet dA blir som du beskriver. Har du mulighet til å fordype litt om det?
atlebjarnebob offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 29/01-2020 17:13

Re: Dobbelt integral - volum av sylinder?

Innlegg Emilga » 13/02-2020 17:05

Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1478
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Dobbelt integral - volum av sylinder?

Innlegg atlebjarnebob » 13/02-2020 17:21

Det gir mening, takk.
atlebjarnebob offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 29/01-2020 17:13

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 41 gjester