Dobbelt integral - volum av sylinder?

[atlebjarnebob]

Kan noen hjelpe meg litt på vei med denne? Av begrensningen [tex]x^2 + y^2 = 2^2[/tex] ser jeg for meg at integralet tilsvarer volumet av et sylinder, og at jeg kan finne volumet ved generell formel for volum av sylinder, men ser ikke hva jeg skal sette som høyde i så fall.

[Emilga]

Området $x^2 + y^2 \leq 2^2$ er en sirkel med radius lik $2$ og sentrum i origo. Altså vil vi integrere fra $x = -2$ til $x=2$, og $y = \pm \sqrt{2^2 - x^2}$.

$$ I = \int_{x=-2}^{2} \int_{y= - \sqrt{2^2 - x^2}}^{\sqrt{2^2 - x^2}} \sqrt{2^2 - x^2 - y^2} \mathrm{d}y \mathrm{d}x$$

(EDIT: kan sikkert også gjøre integralet enklere ved å bruke polarkoordinater.)

[Mattebruker]

Innfører sirkelkoordinatar: [tex]\rho[/tex] og [tex]\varphi[/tex] ( 0[tex]\leq[/tex][tex]\rho[/tex][tex]\leq[/tex] 2 , 0[tex]\leq[/tex][tex]\varphi[/tex][tex]\leq[/tex]2[tex]\pi[/tex] )

x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] = [tex]\rho[/tex][tex]^{2}[/tex]

Flateelementet dA = [tex]\rho[/tex] d[tex]\rho[/tex] d[tex]\varphi[/tex]

Ved innsetting i integralet får vi

[tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex]([tex]\int_{0}^{2}[/tex][tex]\sqrt{4- \rho ^{2}}[/tex][tex]\rho[/tex] d[tex]\rho[/tex]) d[tex]\varphi[/tex]

Dette dobbelintegralet er løysbart !
[tex]\rho[/tex] - delen finnast ved substitusjon, [tex]\varphi[/tex]- delen er triviell. Lukke til !

[atlebjarnebob]

Takk til begge for svar! Det ble riktig med polarkoordinater, men lurer litt på hvorfor flateelementet dA blir som du beskriver. Har du mulighet til å fordype litt om det?

[Emilga]

Se på følgende figur: https://d2vlcm61l7u1fs.cloudfront.net/m ... uqKoRj.png

[atlebjarnebob]

Det gir mening, takk.