matematikk.net

Hei! Jeg trenger hjelp med å løse denne oppgaven:


Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer:

∞
∑ ( n / √n3 +1)

n = 1

jeg har prøvd med divergens testen, men jeg fikk uendelig/uendelig , og er usikker på om at den skal være divergent siden svaret ikke er lik 0. Men også om at jeg må bruke L'Hopital's regelen videre for å bli kvitt uendelig/uendelig.

Jeg antar du mener:
$$ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n}{\sqrt{n^3 + 1}} $$
Observer at:
$$ \frac{n}{\sqrt{n^3 + 1}} = \frac{1}{ \sqrt{n + \frac{1}{n^2}}} $$
Altså er:
$$ \sqrt{n} < \sqrt{n + \frac{1}{n^2}} < \sqrt{n+1} $$
Og:
$$ \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + \frac{1}{n^2}}} > \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$
Slik at:
$$ \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n}{\sqrt{n^3 + 1}} = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{ \sqrt{n + \frac{1}{n^2}} } > \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \sum^{\infty}_{k=2} \frac{1}{\sqrt{k}} = \infty$$
Siste likhet kommer av at p-rekken $\sum^{\infty}_{n=1} 1/n^p$ kun konvergerer for $p>1$.

Takk for hjelpen!

Men jeg skjønner ikke helt på slutten hvor k kom fra og hvorfor k = 2?

Når man bruker summenotasjon, så er det vanlig å skifte indekser av forskjellige grunner. F.eks. for å gjøre det letter å sammenligne én rekke med en annen rekke.

Skriv ut de første par leddene i
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} $$
og
$$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} $$

Så ser du at rekkene er like, ledd for ledd. Men sistnevnte rekke er lettere å sammenligne med p-rekken, siden
$$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{\frac 12}} \Rightarrow p = 1/2$$

For å gjennomføre indeks-byttet setter vi:
$ k = n+1 $

Altså blir $ \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{k}}$
Og $n=1 \Rightarrow k = 1+1 = 2$ i nedre grense i summetegnet.

Ok, skjønner.

Men jeg lurer også på hva du gjorde på steg 2?