vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Innlegg Marcus05 » 17/02-2020 22:14

Sitter bom fast med denne oppgaven. Hadde vært veldig fint om noen kunne vist utregning og forklare litt.

Oppgaven:
25)
To skip er på kryssende kurs. Ved tiden t=0 er det ene skipet i punktet (0, 4), og det andre skipet i punktet (39, 14) (alle avstander er målt i nautiske mil). Det første skipet beveger seg parallelt med vektoren (3, 4) med en fart av 15 knop (1 knop= 1 nautisk mil per time). Det andre skipet bever seg parallelt med vektoren (-12, 5) med en fart av 13 knop.

a) Hvor vil kursene krysse hverandre?

b) Vil skipene kollidere?

Fasit:
a) (15, 24)
b) skipene kolliderer ikke
Marcus05 offline

Re: vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Innlegg Kristian Saug » 18/02-2020 10:50

Hei,

Vi kaller skipene [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex].

For skipet A's retning: [tex]tan(\alpha )=\frac{4}{3}\rightarrow \alpha =0,9273[/tex]

For skipet B's retning: [tex]tan(\beta )=\frac{5}{-12}\rightarrow \beta =2,7468[/tex]

Dermed blir deres "vandring" disse (med hastighetene [tex]15[/tex] og [tex]13[/tex]):

[tex]rA(t)=\begin{bmatrix}15t*cos(\alpha ), 4+15t*sin(\alpha ) \end{bmatrix}[/tex]

[tex]rB(t)=\begin{bmatrix} 39+13t*cos(\beta ), 14+13t*sin(\beta ) \end{bmatrix}[/tex]

a)
Ved å sette disse to uttrykkene opp mot hverandre, fås krysningspunktet [tex]S(15,24)[/tex]
Skipene krysser hverandre i posisjonen [tex](15,24)[/tex]

b)
Ved å sette [tex]rB(t)=(15,24)[/tex], fås [tex]t=2[/tex]
Videre får vi at båt [tex]A[/tex] da befinner seg på posisjon [tex]rA(2)=(18,28)[/tex], og altså i en annen posisjon!
Skipene vil ikke kollidere.


Se vedleggene, der også animasjon av skipenes posisjoner fremgår.
Vedlegg
Skip animasjon.odt
(94.5 KiB) 11 ganger
Kryssende skip.odt
(76.89 KiB) 11 ganger
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Innlegg Marcus05 » 18/02-2020 14:50

Tusen takk! :D
Marcus05 offline

Re: vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Innlegg Mattegjest » 18/02-2020 15:13

Alternativ løysing:

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] = [ 0 , 4 ] + t [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 3 t , 4 t + 4 ]

[tex]\overrightarrow{B( t )}[/tex] = [ 39 , 14 ] + s [-12 , 5 ] = [ 39 - 12s , 14 + 5 s ]

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] og [tex]\overrightarrow{B(t)}[/tex] kryssar kvarandre når

3 t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 4 t + 4 = 14 + 5 s

Dette likn. settet har løysinga t = 5 [tex]\wedge[/tex] s = 2

s = 2 gir [tex]\overrightarrow{B(2)}[/tex] [39 - 12 [tex]\cdot[/tex]2 , 14 + 5 [tex]\cdot[/tex] 2 ] = [ 15 , 24 ]

Svar: Fartøya kryssar kvarandre i posisjon ( 15 , 24 ).

Fartøya vil ikkje kollidere ettersom dei passerer den kritiske posisjonen på ulike tidspunkt:
Fartøy B passerer etter 2 timar og A først etter 5 timar.
Mattegjest offline

Re: vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Innlegg Kristian Saug » 18/02-2020 18:22

Mattegjest skrev:Alternativ løysing:

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] = [ 0 , 4 ] + t [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 3 t , 4 t + 4 ]

[tex]\overrightarrow{B( t )}[/tex] = [ 39 , 14 ] + s [-12 , 5 ] = [ 39 - 12s , 14 + 5 s ]

[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] og [tex]\overrightarrow{B(t)}[/tex] kryssar kvarandre når

3 t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 4 t + 4 = 14 + 5 s

Dette likn. settet har løysinga t = 5 [tex]\wedge[/tex] s = 2

s = 2 gir [tex]\overrightarrow{B(2)}[/tex] [39 - 12 [tex]\cdot[/tex]2 , 14 + 5 [tex]\cdot[/tex] 2 ] = [ 15 , 24 ]

Svar: Fartøya kryssar kvarandre i posisjon ( 15 , 24 ).

Fartøya vil ikkje kollidere ettersom dei passerer den kritiske posisjonen på ulike tidspunkt:
Fartøy B passerer etter 2 timar og A først etter 5 timar.


Krysningsposisjonen din er riktig. Men de er mye nærmere å kollidere enn det du har kommet frem til. Skipene er nærmest hverandre etter 1,82 timer. Da er avstanden 2,85 nautiske mil.
Du har heller ikke tatt hensyn til at skipene har forskjellige hastigheter.

Se mitt tidligere innlegg med to vedlegg.
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Re: vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Innlegg Mattegjest » 18/02-2020 20:28

Takk for kommentar ! Ser no at fartsvektor til A = 3 [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 9 , 12 ] som gir [tex]\left | [9 , 12] \right |[/tex] = 15 ( jamfør oppgavetekst ). Denne infoen gir likn. settet

9t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 12t + 4 = 14 + 5s

Løysing: s = 2 [tex]\wedge[/tex] t = [tex]\frac{5}{3}[/tex]

Svar: A passerer kryssingspunktet etter 1 time og 40 minutt , B 20 minutt seinare ( høyrest dette greitt ut ? )
Mattegjest offline

Re: vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt

Innlegg Kristian Saug » 18/02-2020 22:27

Mattegjest skrev:Takk for kommentar ! Ser no at fartsvektor til A = 3 [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 9 , 12 ] som gir [tex]\left | [9 , 12] \right |[/tex] = 15 ( jamfør oppgavetekst ). Denne infoen gir likn. settet

9t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 12t + 4 = 14 + 5s

Løysing: s = 2 [tex]\wedge[/tex] t = [tex]\frac{5}{3}[/tex]

Svar: A passerer kryssingspunktet etter 1 time og 40 minutt , B 20 minutt seinare ( høyrest dette greitt ut ? )


Det er helt korrekt!
Kristian Saug offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 473
Registrert: 11/11-2019 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 141 gjester