Sitter bom fast med denne oppgaven. Hadde vært veldig fint om noen kunne vist utregning og forklare litt.
Oppgaven:
25)
To skip er på kryssende kurs. Ved tiden t=0 er det ene skipet i punktet (0, 4), og det andre skipet i punktet (39, 14) (alle avstander er målt i nautiske mil). Det første skipet beveger seg parallelt med vektoren (3, 4) med en fart av 15 knop (1 knop= 1 nautisk mil per time). Det andre skipet bever seg parallelt med vektoren (-12, 5) med en fart av 13 knop.
a) Hvor vil kursene krysse hverandre?
b) Vil skipene kollidere?
Fasit:
a) (15, 24)
b) skipene kolliderer ikke
vektorer, parameterfremstilling, skjæringspunkt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Hei,
Vi kaller skipene [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex].
For skipet A's retning: [tex]tan(\alpha )=\frac{4}{3}\rightarrow \alpha =0,9273[/tex]
For skipet B's retning: [tex]tan(\beta )=\frac{5}{-12}\rightarrow \beta =2,7468[/tex]
Dermed blir deres "vandring" disse (med hastighetene [tex]15[/tex] og [tex]13[/tex]):
[tex]rA(t)=\begin{bmatrix}15t*cos(\alpha ), 4+15t*sin(\alpha ) \end{bmatrix}[/tex]
[tex]rB(t)=\begin{bmatrix} 39+13t*cos(\beta ), 14+13t*sin(\beta ) \end{bmatrix}[/tex]
a)
Ved å sette disse to uttrykkene opp mot hverandre, fås krysningspunktet [tex]S(15,24)[/tex]
Skipene krysser hverandre i posisjonen [tex](15,24)[/tex]
b)
Ved å sette [tex]rB(t)=(15,24)[/tex], fås [tex]t=2[/tex]
Videre får vi at båt [tex]A[/tex] da befinner seg på posisjon [tex]rA(2)=(18,28)[/tex], og altså i en annen posisjon!
Skipene vil ikke kollidere.
Se vedleggene, der også animasjon av skipenes posisjoner fremgår.
Vi kaller skipene [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex].
For skipet A's retning: [tex]tan(\alpha )=\frac{4}{3}\rightarrow \alpha =0,9273[/tex]
For skipet B's retning: [tex]tan(\beta )=\frac{5}{-12}\rightarrow \beta =2,7468[/tex]
Dermed blir deres "vandring" disse (med hastighetene [tex]15[/tex] og [tex]13[/tex]):
[tex]rA(t)=\begin{bmatrix}15t*cos(\alpha ), 4+15t*sin(\alpha ) \end{bmatrix}[/tex]
[tex]rB(t)=\begin{bmatrix} 39+13t*cos(\beta ), 14+13t*sin(\beta ) \end{bmatrix}[/tex]
a)
Ved å sette disse to uttrykkene opp mot hverandre, fås krysningspunktet [tex]S(15,24)[/tex]
Skipene krysser hverandre i posisjonen [tex](15,24)[/tex]
b)
Ved å sette [tex]rB(t)=(15,24)[/tex], fås [tex]t=2[/tex]
Videre får vi at båt [tex]A[/tex] da befinner seg på posisjon [tex]rA(2)=(18,28)[/tex], og altså i en annen posisjon!
Skipene vil ikke kollidere.
Se vedleggene, der også animasjon av skipenes posisjoner fremgår.
- Vedlegg
-
- Skip animasjon.odt
- (94.5 kiB) Lastet ned 160 ganger
-
- Kryssende skip.odt
- (76.89 kiB) Lastet ned 172 ganger
Alternativ løysing:
[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] = [ 0 , 4 ] + t [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 3 t , 4 t + 4 ]
[tex]\overrightarrow{B( t )}[/tex] = [ 39 , 14 ] + s [-12 , 5 ] = [ 39 - 12s , 14 + 5 s ]
[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] og [tex]\overrightarrow{B(t)}[/tex] kryssar kvarandre når
3 t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 4 t + 4 = 14 + 5 s
Dette likn. settet har løysinga t = 5 [tex]\wedge[/tex] s = 2
s = 2 gir [tex]\overrightarrow{B(2)}[/tex] [39 - 12 [tex]\cdot[/tex]2 , 14 + 5 [tex]\cdot[/tex] 2 ] = [ 15 , 24 ]
Svar: Fartøya kryssar kvarandre i posisjon ( 15 , 24 ).
Fartøya vil ikkje kollidere ettersom dei passerer den kritiske posisjonen på ulike tidspunkt:
Fartøy B passerer etter 2 timar og A først etter 5 timar.
[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] = [ 0 , 4 ] + t [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 3 t , 4 t + 4 ]
[tex]\overrightarrow{B( t )}[/tex] = [ 39 , 14 ] + s [-12 , 5 ] = [ 39 - 12s , 14 + 5 s ]
[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] og [tex]\overrightarrow{B(t)}[/tex] kryssar kvarandre når
3 t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 4 t + 4 = 14 + 5 s
Dette likn. settet har løysinga t = 5 [tex]\wedge[/tex] s = 2
s = 2 gir [tex]\overrightarrow{B(2)}[/tex] [39 - 12 [tex]\cdot[/tex]2 , 14 + 5 [tex]\cdot[/tex] 2 ] = [ 15 , 24 ]
Svar: Fartøya kryssar kvarandre i posisjon ( 15 , 24 ).
Fartøya vil ikkje kollidere ettersom dei passerer den kritiske posisjonen på ulike tidspunkt:
Fartøy B passerer etter 2 timar og A først etter 5 timar.
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Krysningsposisjonen din er riktig. Men de er mye nærmere å kollidere enn det du har kommet frem til. Skipene er nærmest hverandre etter 1,82 timer. Da er avstanden 2,85 nautiske mil.Mattegjest skrev:Alternativ løysing:
[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] = [ 0 , 4 ] + t [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 3 t , 4 t + 4 ]
[tex]\overrightarrow{B( t )}[/tex] = [ 39 , 14 ] + s [-12 , 5 ] = [ 39 - 12s , 14 + 5 s ]
[tex]\overrightarrow{A(t)}[/tex] og [tex]\overrightarrow{B(t)}[/tex] kryssar kvarandre når
3 t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 4 t + 4 = 14 + 5 s
Dette likn. settet har løysinga t = 5 [tex]\wedge[/tex] s = 2
s = 2 gir [tex]\overrightarrow{B(2)}[/tex] [39 - 12 [tex]\cdot[/tex]2 , 14 + 5 [tex]\cdot[/tex] 2 ] = [ 15 , 24 ]
Svar: Fartøya kryssar kvarandre i posisjon ( 15 , 24 ).
Fartøya vil ikkje kollidere ettersom dei passerer den kritiske posisjonen på ulike tidspunkt:
Fartøy B passerer etter 2 timar og A først etter 5 timar.
Du har heller ikke tatt hensyn til at skipene har forskjellige hastigheter.
Se mitt tidligere innlegg med to vedlegg.
Takk for kommentar ! Ser no at fartsvektor til A = 3 [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 9 , 12 ] som gir [tex]\left | [9 , 12] \right |[/tex] = 15 ( jamfør oppgavetekst ). Denne infoen gir likn. settet
9t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 12t + 4 = 14 + 5s
Løysing: s = 2 [tex]\wedge[/tex] t = [tex]\frac{5}{3}[/tex]
Svar: A passerer kryssingspunktet etter 1 time og 40 minutt , B 20 minutt seinare ( høyrest dette greitt ut ? )
9t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 12t + 4 = 14 + 5s
Løysing: s = 2 [tex]\wedge[/tex] t = [tex]\frac{5}{3}[/tex]
Svar: A passerer kryssingspunktet etter 1 time og 40 minutt , B 20 minutt seinare ( høyrest dette greitt ut ? )
-
- Abel
- Innlegg: 637
- Registrert: 11/11-2019 18:23
Det er helt korrekt!Mattegjest skrev:Takk for kommentar ! Ser no at fartsvektor til A = 3 [tex]\cdot[/tex][ 3 , 4 ] = [ 9 , 12 ] som gir [tex]\left | [9 , 12] \right |[/tex] = 15 ( jamfør oppgavetekst ). Denne infoen gir likn. settet
9t = 39 - 12s [tex]\wedge[/tex] 12t + 4 = 14 + 5s
Løysing: s = 2 [tex]\wedge[/tex] t = [tex]\frac{5}{3}[/tex]
Svar: A passerer kryssingspunktet etter 1 time og 40 minutt , B 20 minutt seinare ( høyrest dette greitt ut ? )