Newtons metode

[Effigy]

Trenger hjelp til følgende, bruk Newtons metode til å finne [rot][/rot]2 ved å løse x[sup]2[/sup] - 2 = 0

[Heisenberg]

Hei,-

Aha, dette er en slager av en oppgave. Poenget er at nullpunket til funksjonen er roten av 2. Tipp paa et nullpkt f.eks 1, og sett igang med aa iterere.

Du faar da til aa begynne med

x_1= 1-f(1)/f'(1)=1.5
x_2= 1.5-f(1.5)/f'(1.5)=1.4167

og slik kan du holde paa.

[Effigy]

Hehe, akkurat. Takk.

Hva er fremgangsmåten på "finn de to røttene til x[sup]4[/sup]-8x[sup]2[/sup]-x+16 = 0 på [1,3]"?

[Heisenberg]

Tja, det er ikke noen garanti for at ting gaar godt med Newtons metode, spesielt ikke naar det er snakk om to nullpunkter. Trikset ligger i aa velge startverdier slik at metoden konvergerer mot ulike losninger og ikke bare den samme to ganger.

I ditt tilfelle ville jeg forsokt med initialverdien x=1 og x=3 og sett om ikke metoden konvergerer til ulike løsninger.

Ellers er det bare aa derivere og sette inn i formelen

x_1=1-f(1)/f'(1) osv.

og for den andre rota

x_1=3-f(3)/f'(3) osv.

Hvor mange interasjoner du skal ha med avhenger av hvor noyaktig du skal bestemme losningene.

Klokere? Newtons metode er paa en mate herlig, men ogsaa
et slavearbeid.

[Effigy]

Ah, dette er jo tilnærmet lik meningsløst å gjøre!

[Heisenberg]

Ja, det hores riktig ut! Det er ikke noen femaarsplan
aa drive med dette for haand.

Typisk er vel at man faar oppgave om aa programmere
Newtons metode.

[Effigy]

Hehe.
Har en med en litt annen vri jeg ikke helt skjønner da, "hvor mange røtter har likningen tanx=x, finn de mellom [pi][/pi]/2 og 3[pi][/pi]/2".

[Heisenberg]

Du vet at tan er jo periodisk og gaar mot uendelig med jevne mellomrom hver gang cos x blir null (for pi/2 1.5*pi...osv). Hver gang tan fyker avsted
mot uendelig vil den jo maatte krysse den rette linja y=x, slik at det blir vel uendelig mange losninger paa den likningen hvis man ikke begrenser x paa noen maate.

For aa finne skjaeringspunktene paa intervallet ditt maa du vel traa til med
Newtons metode igjen paa funksjonen f(x)=tan x -x.
Da gjelder det aa finne en OK startverdi ogsaa haape paa det beste.

[Effigy]

Men hvordan skal jeg finne en fornuftig startverdi? Er det noen spesielle triks?

[Heisenberg]

Triks og triks, en idè er aa plotte funksjonen og se omtrent hvor et nullpkt er. Velg saa en verdi i naerheten av dette.

Numerisk kan man ogsaa gjerne sjekke hvordan fortegnet forandrer seg for noen x-verdier. Der hvor fortegnet skifter har man minst et nullpkt. i naerheten av.
Paa denne maaten kan man faktisk ogsaa finne nullpunkter. En enklere, men tregere metode.

[Effigy]

Hm, vet ikke hvordan jeg skal få plottet denne funksjonen på de kalkulatorene jeg har, tror ikke jeg får framstilt noe med to variable.

Har du et tips til nullpunkt for den gitte oppgaven?

[Solar Plexsus]

Ved å la f(x) = tanx - x, får du at f(4,49) < 0 < f(4,5). Så x=4,5 er en kurant startverdi.

[Gjest]

Ja de var jo fine, men hvordan vet man at man må helt opp til 4,5? Jeg ville sjekket rundt 0-[pi][/pi][pi][/pi]

[Heisenberg]

Hei,-


Man vet ikke det. Intervallet man skulle se etter løsninger på var [pi/2, 3pi/2]
slik at 0 er utelukket. Det kan godt være at å begynne på pi kan funke flott.

Likevel skal man være oppmerksom på at noen startverdier kan bære av sted mot noe som ikke konvergerer.