Motivasjon for parametrisering av likningssystemløsning
Lagt inn: 21/02-2020 19:12
Et stort spørsmål jeg hadde da jeg lærte Lineær Algebra den første gangen var; hvorfor er det ønskelig å parametrisere løsninga på et ubestemt system?
Eksempelvis, hvis vi tar et trivielt system som
$$
\begin{matrix}
x + y + z & = & 2 \\
2x + 2y + 2z & = & 4 \\
3x + 3y + 3z & = & 6 \\
\end{matrix}
$$
Vi ser kjapt at de tre likningene er ekvivalente, og vi trenger kun å finne løsninger av den første. Videre ser vi at $z = 2-x-y$ med $x, y$ som frie variabler som gjør at vi kan generere løsninger. Men før vi er ferdige, innfører vi en parametrisering, som for eksempel $x=r, \ \ y = s, \ \ z = 2-r-s$. Det er dette steget som har virket overflødig i alle tilfellene jeg kan komme på.
Av det jeg har fått med meg, så er det tilsynelatende viktig at vi kan lage en bijeksjon, $f \ : \ \mathbb R^2 \rightarrow L \ : \ (r, s) \ \rightarrow \ (r, s, 1-r-s)$.
Men samtidig så er det ikke helt nødvendig å parametrisere løsninga for å oppnå ønsket bijeksjon heller, vel?
Et fint eksempel på at vi kan oppnå en bijeksjon med parametrisering, der vi ellers ikke kan, er en sirkel $x^2 + y^2 = r^2$. Her finnes ingen funksjon $y(x)$ som genererer sirkelen, men parametriseringa $t \rightarrow (\cos(t), \ \sin(t)), \ t \in [0, 2\pi)$ gir oss en fin bijeksjon... tror jeg. Den er vel både injektiv (kun én $t$-verdi mappes til et utvalgt punkt på sirkelen) og surjektiv (alle punkter på sirkelen har en $t$-verdi som mapper til seg).
Finnes det noen utdypning på noen av disse punktene som bedre formidler hvorfor slike parametriseringer er ønskelig? Eventuelt, finnes det flere gode grunner?
Eksempelvis, hvis vi tar et trivielt system som
$$
\begin{matrix}
x + y + z & = & 2 \\
2x + 2y + 2z & = & 4 \\
3x + 3y + 3z & = & 6 \\
\end{matrix}
$$
Vi ser kjapt at de tre likningene er ekvivalente, og vi trenger kun å finne løsninger av den første. Videre ser vi at $z = 2-x-y$ med $x, y$ som frie variabler som gjør at vi kan generere løsninger. Men før vi er ferdige, innfører vi en parametrisering, som for eksempel $x=r, \ \ y = s, \ \ z = 2-r-s$. Det er dette steget som har virket overflødig i alle tilfellene jeg kan komme på.
Av det jeg har fått med meg, så er det tilsynelatende viktig at vi kan lage en bijeksjon, $f \ : \ \mathbb R^2 \rightarrow L \ : \ (r, s) \ \rightarrow \ (r, s, 1-r-s)$.
Men samtidig så er det ikke helt nødvendig å parametrisere løsninga for å oppnå ønsket bijeksjon heller, vel?
Et fint eksempel på at vi kan oppnå en bijeksjon med parametrisering, der vi ellers ikke kan, er en sirkel $x^2 + y^2 = r^2$. Her finnes ingen funksjon $y(x)$ som genererer sirkelen, men parametriseringa $t \rightarrow (\cos(t), \ \sin(t)), \ t \in [0, 2\pi)$ gir oss en fin bijeksjon... tror jeg. Den er vel både injektiv (kun én $t$-verdi mappes til et utvalgt punkt på sirkelen) og surjektiv (alle punkter på sirkelen har en $t$-verdi som mapper til seg).
Finnes det noen utdypning på noen av disse punktene som bedre formidler hvorfor slike parametriseringer er ønskelig? Eventuelt, finnes det flere gode grunner?