Motivasjon for parametrisering av likningssystemløsning

[Aleks855]

Et stort spørsmål jeg hadde da jeg lærte Lineær Algebra den første gangen var; hvorfor er det ønskelig å parametrisere løsninga på et ubestemt system?

Eksempelvis, hvis vi tar et trivielt system som

$$
\begin{matrix}
x + y + z & = & 2 \\
2x + 2y + 2z & = & 4 \\
3x + 3y + 3z & = & 6 \\
\end{matrix}
$$

Vi ser kjapt at de tre likningene er ekvivalente, og vi trenger kun å finne løsninger av den første. Videre ser vi at $z = 2-x-y$ med $x, y$ som frie variabler som gjør at vi kan generere løsninger. Men før vi er ferdige, innfører vi en parametrisering, som for eksempel $x=r, \ \ y = s, \ \ z = 2-r-s$. Det er dette steget som har virket overflødig i alle tilfellene jeg kan komme på.

Av det jeg har fått med meg, så er det tilsynelatende viktig at vi kan lage en bijeksjon, $f \ : \ \mathbb R^2 \rightarrow L \ : \ (r, s) \ \rightarrow \ (r, s, 1-r-s)$.

Men samtidig så er det ikke helt nødvendig å parametrisere løsninga for å oppnå ønsket bijeksjon heller, vel?

Et fint eksempel på at vi kan oppnå en bijeksjon med parametrisering, der vi ellers ikke kan, er en sirkel $x^2 + y^2 = r^2$. Her finnes ingen funksjon $y(x)$ som genererer sirkelen, men parametriseringa $t \rightarrow (\cos(t), \ \sin(t)), \ t \in [0, 2\pi)$ gir oss en fin bijeksjon... tror jeg. Den er vel både injektiv (kun én $t$-verdi mappes til et utvalgt punkt på sirkelen) og surjektiv (alle punkter på sirkelen har en $t$-verdi som mapper til seg).

Finnes det noen utdypning på noen av disse punktene som bedre formidler hvorfor slike parametriseringer er ønskelig? Eventuelt, finnes det flere gode grunner?

[Gustav]

Årsaken til at man bruker r,s etc. istedenfor å gjenbruke $x,y,z$ når man beskriver løsningsmengden er vel mest for å skille mellom valgfrie parametre og (ukjente) variabler i ligningssystemet; I det første eksempelet ditt betyr det at for enhver $(r,s)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$, svarer det en løsning $(x,y,z)=(r,s,2-r-s)$ av ligningssystemet. For å få med samtlige løsninger må avbildningen $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to L\subseteq \mathbb{R}^3$ gitt ved $(r,s)\to (r,s,2-r-s)$ åpenbart være surjektiv (dersom $L$ er definert som løsningsmengden). Hvis man skulle unngått å bruke egne bokstaver for parametrene, vil jeg tro det ville blitt mer rotete å beskrive løsningsmengden.

Her finnes ingen funksjon y(x) som genererer sirkelen, men parametriseringa t→(cos(t), sin(t)), t∈[0,2π) gir oss en fin bijeksjon... tror jeg

La $y:[0,2\pi)\to \mathbb{R}^2$ være gitt ved $x\to (\cos x, \sin x)$. Der har du vel funksjonen du mener ikke fins

[Aleks855]

Årsaken til at man bruker r,s etc. istedenfor å gjenbruke $x,y,z$ når man beskriver løsningsmengden er vel mest for å skille mellom valgfrie parametre og (ukjente) variabler i ligningssystemet; I det første eksempelet ditt betyr det at for enhver $(r,s)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$, svarer det en løsning $(x,y,z)=(r,s,2-r-s)$ av ligningssystemet.

Dette er nok den begrunnelsen jeg forstår best. Altså at man ikke forvirrer $x, y$ med noen viktig geometrisk relasjon til aksene ved samme navn. Det er kanskje ikke alltid det er noen?

For å få med samtlige løsninger må avbildningen $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to L\subseteq \mathbb{R}^3$ gitt ved $(r,s)\to (r,s,2-r-s)$ åpenbart være surjektiv (dersom $L$ er definert som løsningsmengden). Hvis man skulle unngått å bruke egne bokstaver for parametrene, vil jeg tro det ville blitt mer rotete å beskrive løsningsmengden.

Det gir mening. Hvis vi skriver løsningsmengden som $L = \{r(1, 0, -1) \ + \ s(0, 1, -1) \ + \ (0,0,1) \ \ : \ \ r, s \in \mathbb R\}$, så hadde det kanskje vært mer forvirrende å gjenbruke $x, y$.

Her finnes ingen funksjon y(x) som genererer sirkelen, men parametriseringa t→(cos(t), sin(t)), t∈[0,2π) gir oss en fin bijeksjon... tror jeg

La $y:[0,2\pi)\to \mathbb{R}^2$ være gitt ved $x\to (\cos x, \sin x)$. Der har du vel funksjonen du mener ikke fins

Hehe, uheldig formulering. Bare så jeg har det på det rene, hva ville vært den formuleringa du vet jeg siktet til? At vi ikke har en funksjon $y(x) \ : \ \mathbb R \longrightarrow L \subseteq \mathbb R$, men heller må parametrisere for å finne en?

[Gustav]

Problemet er vel i dette tilfellet at en sirkel ikke kan beskrives med en entydig funksjon y(x), i kartesiske koordinater.