Automorfi-gruppen til kroppen av rasjonelle funksjoner

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Automorfi-gruppen til kroppen av rasjonelle funksjoner

Innlegg Kake med tau » 26/02-2020 18:01

(Jeg har stilt det samme spørsmålet her https://math.stackexchange.com/q/3556120/413677, men har ikke fått noe svar)

Oppgaven er hentet fra Miles Reids Commutative Algebra (oppgave 0.6ii), og lyder:

Let [tex]K=k(T)[/tex] be the field of rational functions; a [tex]k[/tex]-automorphism of [tex]K[/tex] is a ring homomorphism [tex]\phi:K→K[/tex] that is the identity on [tex]k[/tex] and is an automorphism of [tex]K[/tex].
Describe the group [tex]\text{Aut}_k(K)[/tex] of [tex]k[/tex]-automorphisms of [tex]K[/tex].


Først har jeg funnet ut at alle homomorfier oppfører seg en som en evalueringshomomorfi, altså [tex]\phi\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f(\phi(T))}{g(\phi(T))}[/tex]. Homomorfien bestemmes kun av polynomet [tex]\phi(T)\in K[/tex].

Dette polynomet kaller jeg [tex]\frac{f}{g}[/tex], og siden homomorfien "evaluerer" alle polynomene ved dette definerer jeg [tex]\phi:=\phi_{f/g}[/tex], med andre ord, [tex]\phi_{f/g}(T)=\frac{f}{g}[/tex]. Siden [tex]\phi_{f/g}[/tex] skal være en automorfi burde det finnes en invers, [tex]\phi_{r/s}[/tex], slik at

[tex]\phi_{r/s}(\phi_{f/g})(T)=\frac{f\left(\frac{r}{s}\right)}{g\left(\frac{r}{s}\right)}=T\iff g\left(\frac{r}{s}\right)T=f\left(\frac{r}{s}\right)[/tex]

Jeg har lyst til å finne ut graden til [tex]f,g[/tex]. Dette gjør jeg ved å gange forrige polynom med [tex]s^{\deg(g)+\deg(f)}[/tex]. Dette gir

  • [tex]f\left(\frac{r}{s}\right)s^{\deg(f)+\deg(g)}=s^{\deg(g)}\sum_{i=0}^{\deg(f)}a_is^{\deg(f)-i}r^i[/tex]
  • [tex]Tg\left(\frac{r}{s}\right)s^{\deg(f)+\deg(g)}=Ts^{\deg(f)}\sum_{j=0}^{\deg(g)}b_js^{\deg(g)-j}r^j[/tex]
Jeg regner deretter ut gradene av hvert av disse to polynomene, og får

  • [tex]\deg(g)\deg(s)+\max_{0\leq i\leq\deg(f)}\{\deg(f)\deg(s)+i(\deg(r)-\deg(s))\}[/tex]
  • [tex]1+\deg(f)\deg(s)+\max_{0\leq j\leq\deg(g)}\{\deg(g)\deg(s)+j(\deg(r)-\deg(s))\}[/tex]

Ved å sette disse gradene like hverandre fås tilslutt:

[tex]1=\max_{0\leq i\leq\deg(f)}\{i(\deg(r)-\deg(s))\}-\max_{0\leq j\leq\deg(g)}\{j(\deg(r)-\deg(s))\}[/tex]

Her finnes det 3 tilfeller å undersøke,

  • [tex]\deg(r)>\deg(s)[/tex], dette forenkler ligningen til [tex]1=(\deg(f)-\deg(g))(\deg(r)-\deg(s))[/tex]. Dette ser ikke riktig ut, da det er mulig å ha alle de ulike gradene lik 1 (automorfien er en lineær transformasjon)
  • [tex]\deg(r)=\deg(s)[/tex], dette forenkler ligningen til [tex]1=0[/tex]
  • [tex]\deg(r)<\deg(s)[/tex], dette gir akkurat samme resultat som forrige punkt

Greier noen å se hva jeg gjør feil her?
"If you really want to impress your friends and confound your enemies, you can invoke tensor products… People run in terror from the $\otimes$ symbol." - en professor ved Standford
Kake med tau offline
Dirichlet
Dirichlet
Brukerens avatar
Innlegg: 158
Registrert: 05/02-2013 14:12
Bosted: Fetsund

Re: Automorfi-gruppen til kroppen av rasjonelle funksjoner

Innlegg Gustav » 27/02-2020 05:37

Kake med tau skrev:
[tex]\phi_{r/s}(\phi_{f/g})(T)=\frac{f\left(\frac{r}{s}\right)}{g\left(\frac{r}{s}\right)}=T\iff g\left(\frac{r}{s}\right)T=f\left(\frac{r}{s}\right)[/tex]



La

$f=a_i T^i+...+a_0$,
$g=b_j T^j+...+b_0$,
$r=c_k T^k+...+c_0$,
$s=d_l T^l+...+d_0$,

der $a_i,b_j,c_k,d_l$ alle ulik $0$, så $i=\deg(f), j=\deg(g), k=\deg(r), l=\deg(s)$.

$g(\frac{r}{s})T=(b_j (\frac{r}{s})^j+...+b_0)T=a_i(\frac{r}{s})^i+...+a_0=f(\frac{r}{s})$

Hvis $j\ge i$, multipliser med $s^j$, så

$(b_j r^j+...+b_0 s^j)T=a_ir^i s^{j-i}+...+a_0s^j$. (*)

Hvis $k\ge l$ kan vi fastslå at graden til venstresida i (*) er $kj+1$, siden $b_j\neq 0$.

Hvis $l>k$, kan vi ikke uten videre fastslå at graden til venstresida i (*) er $lj+1$, siden $b_0$ kan være $0$. I dette tilfellet vil graden avhenge av hvilke koeffisienter $b_n$ som er ulik $0$.

Det er kanskje på dette punktet resonnementet ditt sviktet?

Det er for øvrig gitt et par gode bevis, av Arturo Magidin, her: https://math.stackexchange.com/question ... -functions
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4365
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 160 gjester