Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Hjelp_megplis » 05/03-2020 17:59

Bilde

Kan noen forklare kort hvordan man tenker her for å sette opp dette integralet?

jeg prøvde på noe greier og fikk r=+/- sqrt(-z^2+1) +2 , Ø går nok fra 0 til 2*pi som den vanligvis gjør. Men hva blir grensene til z? når jeg løser ulikheten for z får jeg z=+/- sqrt(-r^2+4*r-3)
men tror ikke jeg finner grensene til r og z på riktig måte
Hjelp_megplis offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Dizzy » 05/03-2020 19:02

Tips!

1. xy-planet dvs z=0. Det gir theta og r
2. Løs likningen for å få z

Du får en smultring!
Dizzy offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Hjelp_megplis » 05/03-2020 19:25

Stemmer det da at:

grensa til r: 1<r<3 (setter z=3-r i likning og løser for r)

z=3-r , så med innsatte verdier av r fra over har vi følgende grenser for z: 0<z<2 ?

du skriver at det blir en smultring, og det stemmer vel med grensene for r jeg har fått. Smultring er en ring, så teta går fra 0 til 2pi.

Det neste jeg er usikker på er hva som blir integranden. Løser jeg bare den oppgitte likningen lik 0, og setter inn for z?
s.a integranden blir ( (r-2)^2 + (3-r)^2 -1) *r
Hjelp_megplis offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg dizzy » 05/03-2020 20:05

Volum ved sylinderkoordinater:

integranden:r
dizzy offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Hjelp_megplis » 05/03-2020 21:17

dizzy skrev:Volum ved sylinderkoordinater:

integranden:r


jaaaa, såklart! ok, takk, dette temaet har blitt veldig mye mer klart for meg nå!
Hjelp_megplis offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Mattegjest » 05/03-2020 23:48

Har eit par kommentarar til integralet( volumet ) oppgåva spør etter:

1) "Smultringen" er symmetrisk om xy-planet. Difor er det tilstrekkeleg å rekne ut volumet av den delen som ligg over
xy-planet.

2) Innsendar skriv i innlegget sitt at 1 [tex]\leq[/tex] r [tex]\leq[/tex] 3. Hugs at dette gjeld berre for den delen av
" smultringen " som ligg i xy-planet ( z = 0 ). I det allmenne tilfellet får vi
2 - [tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex] [tex]\leq[/tex] r [tex]\leqslant[/tex] 2 + [tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex]

3) z går eigentleg frå -1 til +1. Men sidan vi har symmetri om xy-planet, let vi z gå frå 0 til +1.

4) Minner elles om at volumelentet dV = r dr dz d[tex]\theta[/tex] ( gjeld berre for sylinderkoordinatar )


Romfiguren får da volumet

V = [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex] [tex]\int_{0}^{1}[/tex] [tex]\int_{2 - \sqrt{1 - z^{2}}}^{2 + \sqrt{1- z^{2}}}[/tex]( ( r - 2 )[tex]^{2}[/tex] + z[tex]^{2}[/tex] ) r dr dz d[tex]\theta[/tex]

Dette ser ut til å bli eit " stygt " integral. Kan truleg forenkle reknearbeidet ved å innføre ein ny variabel ( sett r - 2 = u )

Dersom Dizzy les dette innlegget , må du gjerne kommentere ovanståande løysingforslag.

Men akkurat no er det sengetid for Mattegjest. Ha ei god natt !
Mattegjest offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Mattegjest » 06/03-2020 10:00

God morgen !

Har prøvd å løyse integralet eg presenterte seint i går kveld( gløymde faktor 2 for å få med volumet som ligg under xy-planet )
Innfører variabelskifte ( r - 2 = u ) og endar opp med

f( z ) = [tex]\sqrt{ 1 - z^{2}}[/tex] [tex]\cdot[/tex]( [tex]\frac{4}{3}[/tex] + [tex]\frac{8}{3}[/tex] z[tex]^{2}[/tex] )

etter å ha utføret integrasjonen over det aktuelle u-området ( -[tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex] [tex]\leq[/tex] u [tex]\leq[/tex] [tex]\sqrt{1 - z^{2}}[/tex] ).

Da får vi at volumet

V = 2 [tex]\cdot[/tex] [tex]\int_{0}^{2\pi }[/tex] d[tex]\theta[/tex] [tex]\int_{0}^{1}[/tex] f( z ) dz = 2 [tex]\cdot[/tex] 2[tex]\pi[/tex] [tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\pi }{2}[/tex] = 2 [tex]\pi ^{2}[/tex]

Merknad: Integralet [tex]\int_{0}^{1}[/tex] f( z ) dz kan reknast ut " for hånd " , men her brukte eg CAS for å spare tid.
Mattegjest offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Dizzy » 06/03-2020 12:10

[tex]V=\int_{0}^{2*\pi }\int_{1}^{3}\int_{-\sqrt{4*r-3-r^2}}^{\sqrt{4*r-3-r^2}}rdzdrd\theta =4*\pi ^2[/tex]

Edit
Dizzy offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Dizzy » 06/03-2020 12:22

Må ha trykt på gal knapp i Tex-editor!!
Dizzy offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg josi » 06/03-2020 12:43

Dizzy skrev:[tex]V=\int_{0}^{2*\pi }\int_{1}^{3}\int_{-\sqrt{4*r-3-r^2}}^{\sqrt{4*r-3-r^2}}rdzdrd\theta =4*\pi ^2[/tex]

Edit


Som må være riktig da vi ved å rette ut smultringen får en sylinder med grunnflate $\pi$ og høyde $4\pi$.
josi offline

Re: Volum av område gitt v sylinderkoordinat

Innlegg Mattegjest » 06/03-2020 15:09

Har studert løysinga til Dizzy. Han startar med å integrere z-variablen over det aktuelle z-området

( [tex]-\sqrt{4r - r^{2} -3} \leq[/tex] z [tex]\leq[/tex] [tex]\sqrt{4r - r^{2} -3}[/tex] ) der ein " frys " r

innafor intervallet ( 1 [tex]\leq[/tex] r [tex]\leq[/tex] 3 ) . Deretter summerer han opp alle " z-delsummane " ved å integrere
desse over det tillatne r-området ( 1 [tex]\leq[/tex] r [tex]\leq[/tex] 3 ) . Mattegjest har i prinsippet brukt same framgangsmåten , berre med den forskjell at eg har utført integrasjonane i motsett rekkefølge ( jamfør mitt forrige innlegg
på denne tråden ). Likevel kjem vi ut med ulike svar: Dizzy ( 4[tex]\pi[/tex][tex]^{2}[/tex] ) , medan Mattegjest
landar på ( 2[tex]\pi[/tex][tex]^{2}[/tex] ). Dei to utrekningsmåtane burde ( sjølvsagt ) gi eitt og same svar. Derfor
lurer eg på: Kvar ligg feilen ?
Mattegjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 117 gjester

cron