Epsilon-delta

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Epsilon-delta

Innlegg Frævik » 07/03-2020 15:03

Hei! Holder på å lærer meg epsilon-delta-bevis, og skal prøve å vise at følgende funksjon er kontinuerlig for x=2: [tex]f(x)=x^2+1[/tex]
Jeg er litt usikker på hvordan jeg skal gå frem (og vet ikke om dette ble riktig), men kunne dere sett over?

Finner at [tex]|f(x)-f(2)|=|x^2+1-4-1|=|x^2-4|=|x+2||x-2|[/tex]

Jeg ønsker nå å finne en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|x+2||x-2|<\epsilon[/tex].

Kan jeg nå si at dette er oppfylt for [tex]\delta =\frac{\epsilon}{|x+2|}[/tex]
og avslutte beviset? (Er det i det hele tatt riktig?)

Tusen takk.
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 34
Registrert: 06/01-2019 20:55

Re: Epsilon-delta

Innlegg DennisChristensen » 07/03-2020 16:09

Frævik skrev:Hei! Holder på å lærer meg epsilon-delta-bevis, og skal prøve å vise at følgende funksjon er kontinuerlig for x=2: [tex]f(x)=x^2+1[/tex]
Jeg er litt usikker på hvordan jeg skal gå frem (og vet ikke om dette ble riktig), men kunne dere sett over?

Finner at [tex]|f(x)-f(2)|=|x^2+1-4-1|=|x^2-4|=|x+2||x-2|[/tex]

Jeg ønsker nå å finne en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|x+2||x-2|<\epsilon[/tex].

Kan jeg nå si at dette er oppfylt for [tex]\delta =\frac{\epsilon}{|x+2|}[/tex]
og avslutte beviset? (Er det i det hele tatt riktig?)

Tusen takk.


Nei, det er ikke riktig. Du kan ikke la $\delta$ være avhengig av $x$. Anta at $\varepsilon > 0$ er gitt. Vi ønsker å finne en $\delta > 0$ slik at $|x-2|<\delta$ garanterer at $|f(x) - f(2)| < \varepsilon$. Nå, som du har skrevet så har vi at $|f(x) - f(2)| = |x+2||x-2|$. Vi må finne en øvre grense for $|x+2|$. Anta at $|x-2| < 1$. Da er $1 < x < 3$, så $|x+2| < 5$. Altså vet vi nå at dersom vi velger $\delta < 1$ så garanterer $|x-2|<\delta$ at $|x+2||x-2| < 5\delta$. Så, gitt $\varepsilon > 0$, velger vi $\delta < \min\left(\{1, \varepsilon / 5\}\right)$ og får at $|f(x) - f(2)| < \varepsilon$.
DennisChristensen offline
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 822
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Epsilon-delta

Innlegg Frævik » 07/03-2020 16:27

Da skjønner jeg det nesten, men hvordan kan jeg bare anta at [tex]|x-2|<1[/tex]?
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 34
Registrert: 06/01-2019 20:55

Re: Epsilon-delta

Innlegg DennisChristensen » 07/03-2020 18:03

Frævik skrev:Da skjønner jeg det nesten, men hvordan kan jeg bare anta at [tex]|x-2|<1[/tex]?


Vi antar at $|x-2| < \delta$, så ved å velge $\delta < 1$, får vi anta at $|x-2| < 1$.
DennisChristensen offline
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 822
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Epsilon-delta

Innlegg Frævik » 07/03-2020 19:33

Jaa selvfølgelig! Tusen takk for hjelpen.
Frævik offline
Noether
Noether
Innlegg: 34
Registrert: 06/01-2019 20:55

Re: Epsilon-delta

Innlegg Nybruker » 07/03-2020 21:51

Dennis skriver : [tex]\left | x - 2 \right |[/tex] < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] 1 < x < 3 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left | x + 1 \right |[/tex] < 4

Hvorfor [tex]\left | x + 1 \right |[/tex] ?

Ville det ikke være mer naturlig å skrive [tex]\left | x + 2 \right |[/tex] < 5 ettersom [tex]\left | f(x) - f(2) \right |[/tex] = [tex]\left | x -2 \right |\cdot \left | x + 2 \right |[/tex] ?
Nybruker offline

Re: Epsilon-delta

Innlegg DennisChristensen » 08/03-2020 10:17

Nybruker skrev:Dennis skriver : [tex]\left | x - 2 \right |[/tex] < 1 [tex]\Rightarrow[/tex] 1 < x < 3 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left | x + 1 \right |[/tex] < 4

Hvorfor [tex]\left | x + 1 \right |[/tex] ?

Ville det ikke være mer naturlig å skrive [tex]\left | x + 2 \right |[/tex]< 5 ettersom [tex]\left | f(x) - f(2) \right |[/tex] = [tex]\left | x -2 \right |\cdot \left | x + 2 \right |[/tex] ?


Aner ikke hvorfor jeg gjorde den feilen. Det vi selvsagt er ute etter, er at $|x+2| < 5$. Har rettet det nå.
DennisChristensen offline
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 822
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Epsilon-delta

Innlegg Nybruker » 08/03-2020 10:36

Takk for tilbakemelding ! Da er jeg med på resonnementet ditt. For øvrig en interessant og lærerik redegjørelse vedrørende
[tex]\delta - \epsilon[/tex]- bevis.
Nybruker offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 112 gjester