Bevis: Formelen for buelengden av en graf
Lagt inn: 08/03-2020 13:44
Hei. I dag tenkte jeg at jeg skulle prøve å bevise at buelengden L mellom punktene a og b av en graf i planet er gitt ved [tex]L=\int_{a}^{b} \displaystyle \sqrt{1+f'(x)^2} dx[/tex]. Jeg går førsteåret på vgs og har derfor ikke lært mye om bevis gjennom skolen, så kunne noen sett over og verifisert beviset?
Vi tenker oss at vi deler linjestykket fra a til b i n like lange deler. La [tex]P=\left \{ x_{0},x_{1},...x_{n-1},x_{n} \right \}[/tex] være mengden av alle disse punktene, hvor [tex]a=x_{0}[/tex] og [tex]b=x_{n}[/tex].
Som vi ser av tegningen i vedlegget vil lengden fra [tex]f(x_{k-1})[/tex] til [tex]f(x_{k})[/tex] (av Pytagoras' læresetning) være lik [tex]\sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex] for en hvilken som helst [tex]k\in \left \{ 0,1,2,...,n-1,n \right \}[/tex]. Her er [tex]\Delta x=x_{k}-x_{k-1}[/tex]. På tegningen er altså dette illustrert for [tex]k=2[/tex].
Vi ser nå at lengden L av grafen mellom a og b er [tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex]
Fordi [tex]x_{k}=x_{k-1}+\Delta x[/tex], er
[tex]\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}=\frac{f(x_{k-1}+\Delta x)-f(x_{k-1})}{\Delta x}[/tex], men ettersom
[tex]n\rightarrow \infty[/tex] må også [tex]\Delta x\rightarrow 0[/tex]. Det fører til at
[tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(\Delta x^2 \cdot f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2(1+f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \Delta x \sqrt{1+f'(x_{k-1})^2}[/tex]. Dette er en uendelig sum som vi kan omgjøre til integralet fra a til b:
[tex]\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2} dx[/tex]
QED
Takker så mye for all hjelp!
Vi tenker oss at vi deler linjestykket fra a til b i n like lange deler. La [tex]P=\left \{ x_{0},x_{1},...x_{n-1},x_{n} \right \}[/tex] være mengden av alle disse punktene, hvor [tex]a=x_{0}[/tex] og [tex]b=x_{n}[/tex].
Som vi ser av tegningen i vedlegget vil lengden fra [tex]f(x_{k-1})[/tex] til [tex]f(x_{k})[/tex] (av Pytagoras' læresetning) være lik [tex]\sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex] for en hvilken som helst [tex]k\in \left \{ 0,1,2,...,n-1,n \right \}[/tex]. Her er [tex]\Delta x=x_{k}-x_{k-1}[/tex]. På tegningen er altså dette illustrert for [tex]k=2[/tex].
Vi ser nå at lengden L av grafen mellom a og b er [tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}[/tex]
Fordi [tex]x_{k}=x_{k-1}+\Delta x[/tex], er
[tex]\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}=\frac{f(x_{k-1}+\Delta x)-f(x_{k-1})}{\Delta x}[/tex], men ettersom
[tex]n\rightarrow \infty[/tex] må også [tex]\Delta x\rightarrow 0[/tex]. Det fører til at
[tex]L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2+(\Delta x^2 \cdot f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\Delta x^2(1+f'(x_{k-1})^2)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n} \Delta x \sqrt{1+f'(x_{k-1})^2}[/tex]. Dette er en uendelig sum som vi kan omgjøre til integralet fra a til b:
[tex]\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2} dx[/tex]
QED
Takker så mye for all hjelp!