Statistikk: estimat for beta?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Statistikk: estimat for beta?

Innlegg frederni » 12/03-2020 21:07

Hei! Sliter litt med følgende oppgave:

La [tex]X_1, ..., X_n[/tex] være et tilfeldig utvalg fra fordelingen
[tex]f(x;b,k)=\frac{1}{b} \exp\left(-\frac{x}{k \beta}\right), x\ge 0, b>0[/tex]
med forventning [tex]E(X)=\beta k^2[/tex] og varians Var(X)=[tex]b^2k^3(2-k)[/tex]

(a) Bruk sannsynlighetsmaksimeringsmetoden til å finne et estimat for β når du har [tex]n = 13[/tex] målinger og vet at [tex]\sum_{i=1}^n x_i=6.8[/tex] og [tex]k=5[/tex].


Slik jeg har tenkt, har jeg fått
[tex]L=\prod_{i=1}^{13} \frac{1}{\beta} \exp \left(-\frac{x_i}{k\beta}\right)=\beta^{-13} \exp \left(\frac{-13\cdot 6.8}{5 \beta}\right)[/tex]
Da får jeg også at L har maksima i [tex]6.8/5=1.36[/tex], men dette er tydeligvis ikke riktig svar for estimatet for [tex]\beta[/tex].

Det er mulig jeg har en svært åpenbar feil her, men klarer ikke å oppdage den på egenhånd, er det noen som har noen forslag?


Nå som jeg alt har skrevet her kan jeg også spørre om en annen litt lik oppgave:

Utrykningspolitiet (UP) vil undersøke kor ofte det skjer grove fartsoverskridingar på innfartsvegane til Oslo. Med ei grov fartsoverskriding er meint køyring over 130 km/t på strekningar der fartsgrensa er 90 km/t. Me skal gå utifrå at talet på slike overskridingar over eit tidsrom på t timar er poissonfordelt med parameter λt.
UP ynskjer å estimere λ, og har føreteke målingar av grove fartsoverskridingar i 3 forskjellige periodar. La talet på overskridingar i desse periodane vere høvesvis 4, 1, og 3, og anta at periodane vara høvesvis 5, 5 og 3 timar. Kva er sannsynsmaksimeringsestimatet, [tex]\hat{\lambda}[/tex], basert på dei gitte dataene?


Her forsøkte jeg litt samme regla, nemlig
[tex]L=\frac{5\lambda}{4!}e^{-5\lambda}\frac{5\lambda}{1}e^{-5\lambda}\frac{3\lambda}{3!}e^{-3\lambda}[/tex]
Som gir maksima i 1/13=0.077, som heller ikke er riktig
frederni offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 12/03-2020 20:57

Re: Statistikk: estimat for beta?

Innlegg MatteTor » 16/03-2020 13:00

Du må derivere L med hensyn på \beta og sette lik null. Ikke sette inn verdier slik du har gjort.

Vanlig er at man optimerer ln(L) i stedet for L, siden det gir mer håndterlige utregninger.
Logikken er da at \beta som gir maks for ln(L) gir også maks for L

Se om det hjelper deg, så kan jeg heller skrive mer om du vil det senere.
Mvh Tor
MatteTor på youtube
MatteTor offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 14
Registrert: 15/01-2020 16:11

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 76 gjester