matematikk.net

Har en oppgave jeg ikke er helt skråsikker på.

En person blåser opp en ballong. Anta at ballongen er kuleformet og at personen blåser slik at volumet øker med en rate på [tex]1.2 L/s = 1200 cm^{3}/s[/tex] (1,2 liter i sekundet).

a) Finn et uttrykk for radiusen r til ballongen uttrykt vha volumet V.

b) Siden volumet V øker vil også radiusen r øke. Finn et uttrykk for vekstraten [tex]\frac{dr}{dt}[/tex] til radiusen vha uttrykket du fant i a).

c) Hvor fort øker radiusen når volumet er 2.4 L?


I a) har jeg funnet at [tex]r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}[/tex]

b) Her antar jeg at t=sekund, og vet at både r og V er avhengig av t. For å derivere vil jeg først substituere V=V(t)=1.2L/s, og har satt
[tex]r(t)=\sqrt[3]{\frac{3*1200t}{4\pi }}[/tex].

Blir det riktig å substituere V med 1200t, siden det er 1200cm^3/s, for så å derivere? Eller kan jeg sette V(t)=1.2?

b)
finn:


[tex]dV/dt = V ' (t)[/tex]
og
[tex]dr/ dt = r ' (t)[/tex]
fra

[tex]\frac{dV}{dt}=4\pi*r^2\, \frac{dr}{dt}[/tex]

Delspørsmål b:

Karantene skriv: I a) har jeg funnet at r = [tex]\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi }\cdot V}[/tex]

Går vidare med dette uttrykket og får

r( V ) = ([tex]\frac{3}{4\pi }[/tex])[tex]^{\frac{1}{3}}[/tex][tex]\cdot[/tex]V[tex]^{\frac{1}{3}}[/tex]

Sett ( [tex]\frac{3}{4\pi }[/tex] )[tex]^{\frac{1}{3}}[/tex] = C [tex]\simeq[/tex] 0.62

Da er [tex]\frac{d}{dt}[/tex] r( V ) = C[tex]\cdot[/tex] [tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\cdot[/tex]V[tex]^{-\frac{2}{3}}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{dV}{dt}[/tex]

V = 2.4 L gir [tex]\frac{dr}{dt}[/tex] = 0.62 [tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{3}[/tex]

MERK! Tex-editor streika og fekk difor ikkje fullført teksten ( innsetting talverdiar )