matematikk.net

Skal beregne taylorpolynom av den andre grad til [tex]f(x)=\ln(1+x)[/tex] om [tex]x=2[/tex] og dermed finne en tilnærma verdi for uttrykket [tex]\ln(3.2)-1[/tex].


Anvender
[tex]T_n(x)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}\left ( a \right )}{i!}\left ( x-a \right )^{i}[/tex]

[tex]T_2(x)=\sum_{i=0}^{2}\frac{(\ln(1+x))^{(i)}\left ( 2 \right )}{i!}\left ( x-2 \right )^{i}= \ln(3)+\frac{1}{3}\left ( x-2 \right )-\frac{1}{18}\left ( x-2 \right )^{2}[/tex]


Innsatt [tex]x = \ln(3.2)-1[/tex] gir meg [tex]T_2\left ( \ln3.2-1 \right )\approx 0.298[/tex]

Mens [tex]f(\ln3.2-1) \approx 0.151[/tex]

Hvorfor er det så markant forskjell mellom taylorpolymet til funksjonen for den ønskede verdien og funksjonsverdien for den ønskede verdien?

Husk at du taylorutvikler $\log(x + 1)$ og ikke $\log x$, så det blir ikke helt riktig å sette inn 3.2. Hva tror du at du må sette inn i stedet?

Nebuchadnezzar skrev:Husk at du taylorutvikler $\log(x + 1)$ og ikke $\log x$, så det blir ikke helt riktig å sette inn 3.2. Hva tror du at du må sette inn i stedet?

Er ikke taylorpolynomet til [tex]f(x)=\ln(1+x)[/tex] gitt ved [tex]T_2\left ( x \right )=\ln(3)+\frac{1}{3}\left ( x-2 \right )-\frac{1}{18}\left ( x-2 \right )^2[/tex] om [tex]x=2[/tex] ?


[tex]T_2(\ln(3.2)-1)=\ln(3)+\frac{1}{3}\left (\left ( \ln(3.2)-1 \right )-2 \right )-\frac{1}{18}\left ( (\ln(3.2)-1) -2 \right ) \approx 0.298[/tex]
[tex]f(\ln3.2-1)=\left (\ln\left ( \left ( 1 \right )+\left ( \ln3.2-1 \right ) \right ) \right )=\ln(\ln3.2)\approx 0.151[/tex]

aaaf skrev:

Nebuchadnezzar skrev:Husk at du taylorutvikler $\log(x + 1)$ og ikke $\log x$, så det blir ikke helt riktig å sette inn 3.2. Hva tror du at du må sette inn i stedet?

Er ikke taylorpolynomet til [tex]f(x)=\ln(1+x)[/tex] gitt ved [tex]T_2\left ( x \right )=\ln(3)+\frac{1}{3}\left ( x-2 \right )-\frac{1}{18}\left ( x-2 \right )^2[/tex] om [tex]x=2[/tex] ?


[tex]T_2(\ln(3.2)-1)=\ln(3)+\frac{1}{3}\left (\left ( \ln(3.2)-1 \right )-2 \right )-\frac{1}{18}\left ( (\ln(3.2)-1) -2 \right ) \approx 0.298[/tex]
[tex]f(\ln3.2-1)=\left (\ln\left ( \left ( 1 \right )+\left ( \ln3.2-1 \right ) \right ) \right )=\ln(\ln3.2)\approx 0.151[/tex]

noen ?

Taylorpolynomet ditt ser helt riktig ut det. Men husk at

$T_n(x)$ er en god tilnærming til $\log(x+1)$ (omkring $x = 2$)

så når du setter inn $x=\log(3.2)-1$ får du at

$T_n(\log(3.2)-1)$ er en god tilnærming til $\log(\log(3.2)-1 + 1) = \log(\log(3.2))$

Mens du ønsker å tilnærme $\log(\log(3.2)-1)$ derfor må du trekke fra en når du setter inn i $T_n$ forstår du hvorfor?

Pssst: tålmodighet er en dyst

Nebuchadnezzar skrev:Taylorpolynomet ditt ser helt riktig ut det. Men husk at

$T_n(x)$ er en god tilnærming til $\log(x+1)$ (omkring $x = 2$)

så når du setter inn $x=\log(3.2)-1$ får du at

$T_n(\log(3.2)-1)$ er en god tilnærming til $\log(\log(3.2)-1 + 1) = \log(\log(3.2))$

Mens du ønsker å tilnærme $\log(\log(3.2)-1)$ derfor må du trekke fra en når du setter inn i $T_n$ forstår du hvorfor?

Pssst: tålmodighet er en dyst

forstår ikke helt det du sier:
[tex]f(x)=\ln(1+x)[/tex]
[tex]f (\left ( \ln3.2 \right-1 ) =\ln(1+\left ( \ln3.2-1 \right ))=\ln\left ( \ln3.2 \right )[/tex]

?

aaaf skrev:

Nebuchadnezzar skrev:Taylorpolynomet ditt ser helt riktig ut det. Men husk at

$T_n(x)$ er en god tilnærming til $\log(x+1)$ (omkring $x = 2$)

så når du setter inn $x=\log(3.2)-1$ får du at

$T_n(\log(3.2)-1)$ er en god tilnærming til $\log(\log(3.2)-1 + 1) = \log(\log(3.2))$

Mens du ønsker å tilnærme $\log(\log(3.2)-1)$ derfor må du trekke fra en når du setter inn i $T_n$ forstår du hvorfor?

Pssst: tålmodighet er en dyst

forstår ikke helt det du sier:
[tex]f(x)=\ln(1+x)[/tex]
[tex]f (\left ( \ln3.2 \right-1 ) =\ln(1+\left ( \ln3.2-1 \right ))=\ln\left ( \ln3.2 \right )[/tex]

?

[tex]f\left ( \ln3.2-1 \right )=\ln\left ( 1+\left ( \ln3.2-1 \right ) \right )=\ln\left ( \ln3.2 \right )[/tex]

fikset TEX'en, *

Om [tex]f(x)=\ln{(x+1)}[/tex], får du vel den eksakte verdien for [tex]\ln{(3.2)}-1[/tex] ved å regne ut [tex]f(2.2) - 1[/tex] ?

Og i tilnærmingen til [tex]f(x)[/tex] tilsvarende, at du da regner [tex]T_2(2.2) - 1[/tex]? Disse verdiene burde bli tilnærmet like.

For det står vel ikke noe sted at [tex]x[/tex]-verdien du skal sette inn i funksjonen skal være [tex]x=\ln{(3.2)} - 1[/tex] ?

SveinR skrev:Om [tex]f(x)=\ln{(x+1)}[/tex], får du vel den eksakte verdien for [tex]\ln{(3.2)}-1[/tex] ved å regne ut [tex]f(2.2) - 1[/tex] ?

Og i tilnærmingen til [tex]f(x)[/tex] tilsvarende, at du da regner [tex]T_2(2.2) - 1[/tex]? Disse verdiene burde bli tilnærmet like.

For det står vel ikke noe sted at [tex]x[/tex]-verdien du skal sette inn i funksjonen skal være [tex]x=\ln{(3.2)} - 1[/tex] ?

jeg tolker det som at når det står 'finn en tilnærma verdi for [tex]\ln(3.2)-1[/tex] så er dette argumentverdien?

hvis man f.eks. skal finne tilnærma verdi for [tex]\ln(3.2)[/tex] da blir vel også [tex]x=\ln(3.2)[/tex] ?

aaaf skrev:hvis man f.eks. skal finne tilnærma verdi for [tex]\ln(3.2)[/tex] da blir vel også [tex]x=\ln(3.2)[/tex] ?

Nei, fordi funksjonen er for [tex]\ln{(x+1})[/tex]. Og denne blir [tex]\ln{(3.2)}[/tex] dersom [tex]x=2.2[/tex].

SveinR skrev:

aaaf skrev:hvis man f.eks. skal finne tilnærma verdi for [tex]\ln(3.2)[/tex] da blir vel også [tex]x=\ln(3.2)[/tex] ?

Nei, fordi funksjonen er for [tex]\ln{(x+1})[/tex]. Og denne blir [tex]\ln{(3.2)}[/tex] dersom [tex]x=2.2[/tex].

Hvis vi f.eks. tester for [tex]f(x)=\ln(1+x)[/tex] om [tex]x=2[/tex] for [tex]T_2(x)[/tex]


[tex]T_2(x)=\sum_{i=0}^{2}\frac{f^{\left ( i \right )}(0)}{i!}\left ( x-0 \right )=x-\frac{1}{2}x^{2}[/tex]

dersom jeg ønsker å finne tilnærmet fordi for [tex]\ln(3.2)[/tex]
så tolker jeg det som at [tex]x=\ln(0.9)[/tex]

[tex]T_2\left ( \ln0.9 \right )=\ln0.9-0.5*\left ( \ln0.9 \right )^2\approx -0.1109[/tex]
[tex]f(\ln0.9)=\ln(1+\ln0.9)\approx-0.111[/tex]

som er en god tilnærming

hvorfor funker dette ikke for [tex]\ln(3.3)-1[/tex] ?

aaaf skrev:

SveinR skrev:

aaaf skrev:hvis man f.eks. skal finne tilnærma verdi for [tex]\ln(3.2)[/tex] da blir vel også [tex]x=\ln(3.2)[/tex] ?

Nei, fordi funksjonen er for [tex]\ln{(x+1})[/tex]. Og denne blir [tex]\ln{(3.2)}[/tex] dersom [tex]x=2.2[/tex].

Hvis vi f.eks. tester for [tex]f(x)=\ln(1+x)[/tex] om [tex]x=0[/tex] for [tex]T_2(x)[/tex]


[tex]T_2(x)=\sum_{i=0}^{2}\frac{f^{\left ( i \right )}(0)}{i!}\left ( x-0 \right )=x-\frac{1}{2}x^{2}[/tex]

dersom jeg ønsker å finne tilnærmet fordi for [tex]\ln(0.9)[/tex]
så tolker jeg det som at [tex]x=\ln(0.9)[/tex]

[tex]T_2\left ( \ln0.9 \right )=\ln0.9-0.5*\left ( \ln0.9 \right )^2\approx -0.1109[/tex]
[tex]f(\ln0.9)=\ln(1+\ln0.9)\approx-0.111[/tex]

som er en god tilnærming

hvorfor funker dette ikke for [tex]\ln(3.3)-1[/tex] ?

**rettet opp i noen skrivefeil

Tja, om du rekkeutvikliger rundt [tex]x=0[/tex] så vil [tex]T_2(x)[/tex] være en god tilnærming til [tex]f(x)[/tex] i nærheten av [tex]x=0[/tex]. Og for [tex]x=\ln{(0.9)}\approx 0.1[/tex], så bør du da få en god tilnærming.

Men om du rekkeutvikler rundt [tex]x=2[/tex], så vil [tex]T_2(x)[/tex] være en god tilnærming til [tex]f(x)[/tex] i nærheten av [tex]x=2[/tex]. Og for [tex]x=\ln{(3.3)}-1 \approx 0.19[/tex] er dette en verdi av [tex]x[/tex] som ikke er i nærheten av [tex]x=2[/tex], og da vil vi sannsynligvis ikke få en god tilnærming.

Dette er en grunn til at jeg heller tror oppgaven skal tolkes slik jeg foreslo. For da regner du ut for [tex]x=2.2[/tex] som da gir en god tilnærming for denne rekkeutviklingen. Det står da også i oppgaveteksten "finn en tilnærma verdi for uttrykket [tex]\ln{(3.2)}−1[/tex]". Og "uttrykket" er ikke det samme som en [tex]x[/tex]-verdi.

SveinR skrev:Tja, om du rekkeutvikliger rundt [tex]x=0[/tex] så vil [tex]T_2(x)[/tex] være en god tilnærming til [tex]f(x)[/tex] i nærheten av [tex]x=0[/tex]. Og for [tex]x=\ln{(0.9)}\approx 0.1[/tex], så bør du da få en god tilnærming.

Men om du rekkeutvikler rundt [tex]x=2[/tex], så vil [tex]T_2(x)[/tex] være en god tilnærming til [tex]f(x)[/tex] i nærheten av [tex]x=2[/tex]. Og for [tex]x=\ln{(3.3)}-1 \approx 0.19[/tex] er dette en verdi av [tex]x[/tex] som ikke er i nærheten av [tex]x=2[/tex], og da vil vi sannsynligvis ikke få en god tilnærming.

Dette er en grunn til at jeg heller tror oppgaven skal tolkes slik jeg foreslo. For da regner du ut for [tex]x=2.2[/tex] som da gir en god tilnærming for denne rekkeutviklingen. Det står da også i oppgaveteksten "finn en tilnærma verdi for uttrykket [tex]\ln{(3.2)}−1[/tex]". Og "uttrykket" er ikke det samme som en [tex]x[/tex]-verdi.

jeg er på bærtur, men hvor kommer egt [tex]\ln(2.2)[/tex] fra uttrykket [tex]\ln3.2-1[/tex] ?

Hvis vi regner ut [tex]f(2.2)[/tex], får vi: (husk at [tex]f(x) = \ln{(x+1)}[/tex])

[tex]f(2.2) = \ln{(2.2 + 1) = \ln{(3.2)}}[/tex]

Og dermed blir [tex]\ln{(3.2)}-1 = f(2.2) - 1[/tex].