differensiallikning

[Uniboy]

Hei, jeg lurer på om noen kan sjekke hva jeg har gjort galt på følgende differensiallikning;
jeg har lagt ned en detaljert måte på hva jeg har gjort da jeg ikke vet hvor mye man skal legge ut ved spørsmål til besvær på dette forumet.

[tex]\frac{dI}{dt}=kI\left ( 5000000 -I \right )[/tex]

[tex]\int \left (\frac{1}{I(5*10^6-I)} \right ) dI = \int k dt[/tex]

Delbrøkoppspaltning vs.
[tex]{\color{Blue} {\frac{1}{I\left ( 5*10^6-I \right )}}}= {\color{Red} {\frac{A}{I}+\frac{B}{\left ( 5*10^6-I \right )}}}[/tex]

[tex]{\color{Red} {\frac{A}{I}+\frac{B}{\left ( 5*10^6-I \right )}}} = \frac{A\left ( 5*10^6 \right )+BI}{I\left ( 5*10^6-I \right )}[/tex]

[tex]\frac{I\left ( B-A \right )+A*5*10^6}{\left (5*10^6-I \right )I}[/tex]

[tex]\left (B-A \right ) = 0 \,\,\,\ \wedge \,\,\, A*5*10^6=1[/tex]

[tex]B=A=\frac{1}{5*10^6}[/tex]

[tex]\int \frac{1}{I\left ( 5*10^6-I \right )}= \frac{1}{5*10^6}\int \frac{1}{I}dI+\frac{1}{5*10^6}\int \frac{1}{\left ( 5*10^6-I \right )}dI[/tex]

[tex]\frac{1}{5*10^6} \ln \left | I \right | -\frac{1}{5*10^6} \ln \left | 5*10^6-I \right |+C = \frac{1}{5*10^6} \ln \left ( \frac{\left | I \right |}{\left | 5*10^6-I \right |} \right )+C[/tex]


hs. blir:

[tex]\int k dt = kt + C[/tex]


Slik at

[tex]\frac{1}{5*10^6}\ln \left ( \frac{\left | I \right |}{\left | 5*10^6-I \right |} \right )+C =kt+C[/tex]

[tex]e^{\ln\left ( \frac{\left | I \right |}{\left | I-5*10^6 \right |} \right )}=e^{\left (kt+C \right )5*10^6}[/tex]

[tex]\frac{I}{I-5*10^6}=e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}[/tex]


Som gir meg;

[tex]I(t)=\frac{-e^{\left (kt+C \right )5*10^6}*5*10^6}{1-e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}}[/tex]

[josi]

Slik at

[tex]\frac{1}{5*10^6}\ln \left ( \frac{\left | I \right |}{\left | 5*10^6-I \right |} \right )+C =kt+C[/tex]
${\left | 5*10^6-I \right |} $
[tex]e^{\ln\left ( \frac{\left | I \right |}{\left | I-5*10^6 \right |} \right )}=e^{\left (kt+C \right )5*10^6}[/tex]
$\left | I-5*10^6 \right |$
Skjer det ikke et illegitimt tegnskifte her?
[tex]\frac{I}{I-5*10^6}=e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}[/tex]


Som gir meg;

[tex]I(t)=\frac{-e^{\left (kt+C \right )5*10^6}*5*10^6}{1-e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}}[/tex][/quote]

[Gjest]

Slik at

[tex]\frac{1}{5*10^6}\ln \left ( \frac{\left | I \right |}{\left | 5*10^6-I \right |} \right )+C =kt+C[/tex]
${\left | 5*10^6-I \right |} $
[tex]e^{\ln\left ( \frac{\left | I \right |}{\left | I-5*10^6 \right |} \right )}=e^{\left (kt+C \right )5*10^6}[/tex]
$\left | I-5*10^6 \right |$
Skjer det ikke et illegitimt tegnskifte her?
[tex]\frac{I}{I-5*10^6}=e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}[/tex]


Som gir meg;

[tex]I(t)=\frac{-e^{\left (kt+C \right )5*10^6}*5*10^6}{1-e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}}[/tex]

[/quote]


gikk litt fort der,
men svaret er ifølge online resource noe helt annet...

[Emilga]

Som gir meg;

[tex]I(t)=\frac{-e^{\left (kt+C \right )5*10^6}*5*10^6}{1-e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}}[/tex]


gikk litt fort der,
men svaret er ifølge online resource noe helt annet...

Dette er den såkalte logistikk-likningen (Logistic differential equation, hvis du vil Google1). Jeg har bare skumlest løsningen din, men det ser ut som riktig fremgangsmåte. Hva skjer hvis du deler teller og nevner på $-e^{\left (kt+C \right )5*10^6}$?

Da ender du opp med bærekapasiteten i teller, og 1 - exp^noe i nevner.

[josi]

Slik at

[tex]\frac{1}{5*10^6}\ln \left ( \frac{\left | I \right |}{\left | 5*10^6-I \right |} \right )+C =kt+C[/tex]
${\left | 5*10^6-I \right |} $
[tex]e^{\ln\left ( \frac{\left | I \right |}{\left | I-5*10^6 \right |} \right )}=e^{\left (kt+C \right )5*10^6}[/tex]
$\left | I-5*10^6 \right |$
Skjer det ikke et illegitimt tegnskifte her?
[tex]\frac{I}{I-5*10^6}=e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}[/tex]


Som gir meg;

[tex]I(t)=\frac{-e^{\left (kt+C \right )5*10^6}*5*10^6}{1-e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}}[/tex]

gikk litt fort der,
men svaret er ifølge online resource noe helt annet...[/quote]

Jeg er ikke så sikker på at svaret i online resource er noe helt annet. Hvis du endrer minustegnene til pluss i svarformelen din og deler på $e^{\left (kt+C \right )5*10^6}$, slik Emliga foreslår, og i tillegg omdøper $e^{\left (kt+C \right )5*10^6}$ til ${De^{\left (k*5*10^6t \right )}}$ hvor $D = e^{C*5*10^6}$, skal du få noe som likner fasitsvaret:

$\frac{5 * 10^6}{1 + De^ {k*5*10^6t}}$.

[josi]

Slik at

[tex]\frac{1}{5*10^6}\ln \left ( \frac{\left | I \right |}{\left | 5*10^6-I \right |} \right )+C =kt+C[/tex]
${\left | 5*10^6-I \right |} $
[tex]e^{\ln\left ( \frac{\left | I \right |}{\left | I-5*10^6 \right |} \right )}=e^{\left (kt+C \right )5*10^6}[/tex]
$\left | I-5*10^6 \right |$
Skjer det ikke et illegitimt tegnskifte her?
[tex]\frac{I}{I-5*10^6}=e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}[/tex]


Som gir meg;

[tex]I(t)=\frac{-e^{\left (kt+C \right )5*10^6}*5*10^6}{1-e^{\left ( kt+C \right )5*10^6}}[/tex]

gikk litt fort der,
men svaret er ifølge online resource noe helt annet...

Jeg er ikke så sikker på at svaret i online resource er noe helt annet. Hvis du endrer minustegnene til pluss i svarformelen din og deler på $e^{\left (kt+C \right )5*10^6}$, slik Emliga foreslår, og i tillegg omdøper $e^{\left (kt+C \right )5*10^6}$ til ${De^{\left (k*5*10^6t \right )}}$ hvor $D = e^{C*5*10^6}$, skal du få noe som likner fasitsvaret:
Det forsvant en minus eksponenten
$\frac{5 * 10^6}{1 + De^ {k*5*10^6t}}$.

Det skal være:

$\frac{5 * 10^6}{1 + De^ {-k*5*10^6t}}$.