Show that the quotient group R/Z is isomorphic to the group U = {z 2 C | |z| = 1} endowed with multiplication as operation.
My answer:
The group U symbolizes the unit circle. Eulers formula gives an isomorphism from the previous assignment (det var en tidligere oppgave) as ø = e^(i2pi*r). We also know that R -> C is a homomorphis. Plotting Eulers formula on an imaginary-real axis gives us a circle. Here r = 1 ( as seen on the Kernel since \epsilon = 1) (igjen fra forrige oppgave). This indicates that it is isomorphic to U. Z is just any set of integers and will only make values samller and thereby in to the unitcircle.
Hva synes dere om et slikt svar?
Abstract algebra (på engelsk)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Homer_J
Forrige oppgave beviste jeg at R->C er en homomorphism ved f(xy) = f(x) f(y). Ligningen var 2pi*r og jeg gjorde om til r = x + y. Og viste gjennom addisjonslovene for sinus og cosinus at det ble f(x) * f(y). Da fikk jeg Ker(ø) = 2pi*n. Kernel blir da brukt i denne ovenfornevnte oppgaven til å brukes som Eulers formula.
Det kunne nok vært formulert noe mer klart og konsist. Cluet er dessuten å bruke det første isomorfiteoremet. Her er måten jeg ville skrevet beviset på:
La $\phi: \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ være gruppehomomorfien gitt ved at $\phi(r)=e^{2\pi i r}$. Legg merke til at $Ker (\phi)= \mathbb{Z}$, og $Im(\phi)=U$, der $U$ er enhetssirkelen i $\mathbb{C}$.
Av første (gruppe)isomorfiteorem er $Im(\phi)=U$ isomorf med $\mathbb{R}/Ker(\phi)=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.
https://mathworld.wolfram.com/FirstGrou ... eorem.html
La $\phi: \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ være gruppehomomorfien gitt ved at $\phi(r)=e^{2\pi i r}$. Legg merke til at $Ker (\phi)= \mathbb{Z}$, og $Im(\phi)=U$, der $U$ er enhetssirkelen i $\mathbb{C}$.
Av første (gruppe)isomorfiteorem er $Im(\phi)=U$ isomorf med $\mathbb{R}/Ker(\phi)=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.
https://mathworld.wolfram.com/FirstGrou ... eorem.html
-
Homer_J
Takk. Jeg omformulerte meg og viste at Ker ø = Z. Så regner med at man da kan bruke det første gruppe isomorphisme teorem.Gustav skrev:Det kunne nok vært formulert noe mer klart og konsist. Cluet er dessuten å bruke det første isomorfiteoremet. Her er måten jeg ville skrevet beviset på:
La $\phi: \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ være gruppehomomorfien gitt ved at $\phi(r)=e^{2\pi i r}$. Legg merke til at $Ker (\phi)= \mathbb{Z}$, og $Im(\phi)=U$, der $U$ er enhetssirkelen i $\mathbb{C}$.
Av første (gruppe)isomorfiteorem er $Im(\phi)=U$ isomorf med $\mathbb{R}/Ker(\phi)=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.
https://mathworld.wolfram.com/FirstGrou ... eorem.html