differensiallikning fortegn

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

Hei, kan noen se hvor minustegnet (som jeg skal ende opp med) forsvinner?


[tex]\frac{dN}{dt}=N-N^2[/tex]

[tex]\frac{1}{N-N^2}dN=1 dt[/tex]

[tex]\int \left ( \frac{1}{N}+\frac{1}{1-N} \right )dN=\int 1 dt[/tex]

[tex]ln \left | N \right |-ln\left | 1-N \right |+C_1=t+C_2[/tex]

[tex]e^{ln\left ( \frac{N}{1-N} \right )}=e^{t+C_3}[/tex]

[tex]N=e^{t+c_3}\left ( 1-N \right )[/tex]

[tex]N(1+e^{t+c-3})=e^{t+c_3}[/tex]

[tex]N=\frac{e^{t+c_3}}{1+e^{t+c_3}}[/tex]

Svaret skal være

[tex]\boxed {-\frac{e^{t+c^3}}{1-e^{t+c^3}}}[/tex]
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]
Gjest

Kristian Saug skrev:I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]
sier du det?

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-N} \right )dN=-1* \ln \left | 1-N \right |[/tex] ?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

$+C$
Bilde
Gjest

Aleks855 skrev:$+C$
jepp,

men er min fremgangsmåte korrekt og fasiten feil da?
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Gjest skrev:
Kristian Saug skrev:I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]
sier du det?

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-N} \right )dN=-1* \ln \left | 1-N \right |[/tex] ?
Beklager. Selvsagt har du rett i det. Nå har jeg sett over din løsning et par ganger til og klarer ikke finne noen feil.....
Skjønt CAS gir samme svar som fasitsvaret du nevner....
Sist redigert av Kristian Saug den 11/04-2020 22:51, redigert 1 gang totalt.
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Kristian Saug skrev:
Gjest skrev:
Kristian Saug skrev:I fjerde linje har du en fortegnsfeil.

Skal være
[tex]ln\begin{vmatrix} N \end{vmatrix}+ln\begin{bmatrix} 1-N \end{bmatrix}.....[/tex]
sier du det?

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-N} \right )dN=-1* \ln \left | 1-N \right |[/tex] ?
Beklager. Selvsagt har du rett i det. Nå har jeg sett over din løsning et par ganger til og klarer ikke finne noen feil.....
Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...
Gjest

Kristian Saug skrev: Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...
takk, er det noen grunn til at wolpram alfa skriver opp [tex]N(t)=\frac{e^t}{C+e^t}[/tex] blir ikke dette feil?
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Gjest skrev:
Kristian Saug skrev: Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...
takk, er det noen grunn til at wolpram alfa skriver opp [tex]N(t)=\frac{e^t}{C+e^t}[/tex] blir ikke dette feil?
Det skal vel være et like riktig uttrykk. Alle ledd divideres med [tex]C[/tex] og vi får en "ny" [tex]C[/tex] i nevneren
([tex]\frac{1}{C}=[/tex]"ny" [tex]C[/tex])
Gjest

Kristian Saug skrev:
Gjest skrev:
Kristian Saug skrev: Men sett gjerne
[tex]e^{c_{3}}=C[/tex]
og få
[tex]N(t)=\frac{Ce^{t}}{1+Ce^{t}}[/tex]

Det er litt penere...
takk, er det noen grunn til at wolpram alfa skriver opp [tex]N(t)=\frac{e^t}{C+e^t}[/tex] blir ikke dette feil?
Det skal vel være et like riktig uttrykk. Alle ledd divideres med [tex]C[/tex] og vi får en "ny" [tex]C[/tex] i nevneren
([tex]\frac{1}{C}=[/tex]"ny" [tex]C[/tex])

takk, et spørsmål

gitt at [tex]N(0)=0.5[/tex] slik at [tex]C=1[/tex]

[tex]\lim_{t-> infinity }N(t)=1[/tex], men kan dette sees ut i fra [tex]dN/dt=N-N^2[/tex] ?
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Nei, det kan det ikke.
[tex]N(0)=0,5[/tex] er kun et randvilkår, her en opplysning om situasjonen ved [tex]t=0[/tex].
Kristian Saug
Abel
Abel
Innlegg: 637
Registrert: 11/11-2019 18:23

Vi kan også foreta en kontroll på vårt svar:

[tex]N(t)=\frac{e^{t}}{1+e^{t}}[/tex]

[tex]N'(t)=\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}[/tex]

[tex]N(t)-(N(t))^{2}=\frac{e^{t}}{1+e^{t}}-(\frac{e^{t}}{1+e^{t}})^{2}=\frac{e^{t}+e^{2t}-e^{2t}}{(1+e^{t})^{2}}=\frac{e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}=N'(t)[/tex]

Dermed bevist.
Svar