matematikk.net

Gitt vektorfeltet $ F(x,y) = (x+y,x^2)$
Hvordan finner jeg linjeintegralet av F langs de to kurvene $ y=x $ og $ y=x^3 $ fra (0,0) til (1,1)

og hvordan finner jeg tyngdepunktet for området D som ligger mellom disse to kurvene, dvs: $ D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x^3 ≤ y ≤ x}$

Noen som klarer å løse denne? Hadde vært nyttig for meg å vite også

Når du sier langs antar jeg at du mener langs randen av det området som er begrenset av de to funksjonene på intervalet $(0,1)$?

Med forbehold om feil, er litt slapp på vektoranalysen.

La $F_1(x,y)=x+y$ og $F_2(x,y)=x^2$.

Fra Green's teorem har vi at $\oint_{\partial R} \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\oint_{\partial R}F_1(x,y)dx+F_2(x,y)dy=\iint_R \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dA=\iint_R (2x-1)dA$

Området $R$ er beskrevet ved $x^3 \leq y \leq x$ og $0\leq x \leq 1$

Så vi får at $\iint_R (2x-1)dA=\int_0^1\int_{x^3}^{x}(2x-1)dydx=\frac{1}{60}$.

Tyngdepunktet (massesenteret) kan finnes slik.

$(\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{1}{A}\int_a^bx(f(x)-g(x))dx, \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}(f(x)^2-g(x)^2)dx\right)$


Hvor $A=\int_a^b f(x)-g(x) \ dx$

Vi beregner $A$

$A=\int_0^1 x-x^3 \ dx = \frac{1}{4}$

Så beregner vi $\int_a^b x(f(x)-g(x))=\int_0^1 x(x-x^3)dx=\frac{2}{15}$

Deretter beregner vi $\int_a^b \frac{1}{2}(f(x)^2-g(x)^2)=\int_0^1 \frac{1}{2}(x^2-(x^3)^2)=\frac{2}{21}$

Så vi får [tex](\bar{x},\bar{y})=\left(\frac{\frac{2}{15}}{\frac{1}{4}},\frac{\frac{2}{21}}{\frac{1}{4}}\right)=(\frac{8}{15},\frac{8}{21})[/tex]