finne løsninger til et 2.grads polynom

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

finne løsninger til et 2.grads polynom

Innlegg feli_e » 01/05-2020 08:42

Jeg ønsker å finne et 2.grads polynom som står normalt på 1 og 1-2t.

Dette har jeg fått til hittil:
Jeg har tenkt at jeg må finne a, b og c til polynomet:
$p(t) = at^2 +bt + c $ slik at $ <p(t),1> =$ 0 og $<p(t),1-2t> = 0 $

Dette systemet vil ha to likninger og tre ukjente, og dermed finnes det mange løsninger. Men hvordan finner jeg en av disse løsningene?
feli_e offline

Re: finne løsninger til et 2.grads polynom

Innlegg Emilga » 01/05-2020 10:15

For å finne en entydig løsning, må du da velge en tallverdi for en av variablene arbitrært, ved. f.eks. å sette $c = 0$ og så løse for $a$ og $b$.
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1494
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: finne løsninger til et 2.grads polynom

Innlegg Kay » 01/05-2020 10:37

feli_e skrev:Jeg ønsker å finne et 2.grads polynom som står normalt på 1 og 1-2t.

Dette har jeg fått til hittil:
Jeg har tenkt at jeg må finne a, b og c til polynomet:
$p(t) = at^2 +bt + c $ slik at $ <p(t),1> =$ 0 og $<p(t),1-2t> = 0 $

Dette systemet vil ha to likninger og tre ukjente, og dermed finnes det mange løsninger. Men hvordan finner jeg en av disse løsningene?


Vi har at [tex]\int_0^1 (at^2+bt+c)dt=0[/tex]
og [tex]\int_0^1 (at^2+bt+c)(1-2t)dt=0[/tex]

Så vi får at [tex]\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=0[/tex] og [tex]\frac{1}{6}(-a-b)=0[/tex]

Vi setter så opp totalmatrisen for systemet

[tex]\begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 & 0\\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6}&0&0\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1&0&-6&0\\0&1&6&0\end{bmatrix}[/tex]

Fra dette ser vi at

\begin{cases}a=6c\\
b=-6c\end{cases}

Hvis vi lar [tex]c=s[/tex] kan vi parametrisere løsningene slik at

\begin{cases}a=6s\\b=-6s\\c=s\end{cases}

La f.eks $s=3$, da har vi at

$ax^2+bx+c=6\cdot 3 x^2 + (-6)\cdot 3x+3=18x^2-18x+3$

La oss sjekke om polynomet vårt stemmer med betingelsene.

$\int_0^1 (18x^2-18x+3) dx=0$
$\int_0^1 (18x^2-18x+3)(2x-1)=0$

Som ønsket.

Merk at dette holder for enhver verdi for $s$. Vi kunne f.eks. ha valgt $s=27139$

Da ville $ax^2+bx+c=162834x^2-162834x+27139$
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 577
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Re: finne løsninger til et 2.grads polynom

Innlegg feli_e » 01/05-2020 11:38

Tuuuuusentakk!!!
feli_e offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 14 gjester