matematikk.net

Hei, oppgaven er som følgende;
[tex]\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=a-bx[/tex]

Jeg har tenkt dette;

TS, her;

[tex]\frac{dx}{dt}=x\left ( a-bx \right )\Leftrightarrow \frac{dx}{dt}=x^2\left ( \frac{a}{x}-b \right )[/tex]

men kommer ikke lengre

alternativt har jeg prøvd

[tex]\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}+bx=a\Leftrightarrow \frac{1}{x}\left ( 1+bx^2 \right ) dx = a dt[/tex]

Gjest skrev:Hei, oppgaven er som følgende;
[tex]\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=a-bx[/tex]

Dette er et spesialtilfelle av en Bernoulli-differensialligning, med $n=2$.

Standardsubstitusjonen $u=x^{-1}$ gir $\frac{dx}{dt}=-u^{-2} \frac{du}{dt}$ og ligningen blir

$\frac{du}{dt}+au=b$ som er en lineær 1.ordens diff.ligning, som kan løses f.eks. med integrerende faktor.


( https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli ... l_equation )

Gustav skrev:

Gjest skrev:Hei, oppgaven er som følgende;
[tex]\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=a-bx[/tex]

Dette er et spesialtilfelle av en Bernoulli-differensialligning, med $n=2$.

Standardsubstitusjonen $u=x^{-1}$ gir $\frac{dx}{dt}=-u^{-2} \frac{du}{dt}$ og ligningen blir

$\frac{du}{dt}+au=b$ som er en lineær 1.ordens diff.ligning, som kan løses f.eks. med integrerende faktor.


( https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli ... l_equation )

ser ikke helt overgangen fra å kalle [tex]u=x^{-1}[/tex] til [tex]\frac{dx}{dt}=-u^{-2}\frac{du}{dt}[/tex] ?

[tex]u\frac{dx}{dt}=a-bu^{-1}[/tex]

?

$u=x^{-1}$ er det samme som $x=u^{-1}$, der både $x=x(t)$ og $u=u(t)$ er funksjoner av $t$. Implisittderivasjon mhp. $t$ av denne ligningen gir $\frac{dx}{dt}=\frac{d (u^{-1})}{dt}= -u^{-2} \frac{du}{dt}$.