Lagrange 2

[Lagrange]

Find the max- and min-values of f(x,y,z) = xyz on the sphere x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] = 12.

L = xyz + l*(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - 12)

[part][/part]L/[part][/part]x = yz + l = 0
[part][/part]L/[part][/part]y = xz + l = 0
[part][/part]L/[part][/part]z = xy + l = 0
[part][/part]L/dl = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] - 12 = 0

Herifra vet jeg ikke hvordan jeg skal få løst det.

[Solar Plexsus]

Du har gjort feil i beregningen av de partiellderiverte. Det blir

(1) ∂L/∂x = yz + 2lx = 0
(2) ∂L/∂y = xz + 2ly = 0
(3) ∂L/∂z = xy + 2lz = 0

Dersom xyz=0, (x=y=z=0 tilfredsstiller f.eks. likningene (1)-(3)), blir f(x,y,z)=0.
Anta så at xyz≠0. Da blir -l = yz/x = xz/y = xy/z, som igjen gir x[sup]2[/sup]z = x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup] = x[sup]2[/sup]z[sup]2[/sup] = y[sup]2[/sup]z[sup]2[/sup] = 0. Herav følger at x[sup]2[/sup](y[sup]2[/sup] - z[sup]2[/sup]) = y[sup]2[/sup](x[sup]2[/sup] - z[sup]2[/sup]) = 0, hvilket gir x[sup]2[/sup] = y[sup]2[/sup] = z[sup]2[/sup]. Ettersom x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] = 12, må x[sup]2[/sup] = y[sup]2[/sup] = z[sup]2[/sup] = 12/3 = 4. Ergo blir (xyz)[sup]2[/sup] = 4[sup]3[/sup] = 64, som innebærer at

f(x,y,z) = ±[rot][/rot]64 = ±8.

Dermed kan vi konkludere med at min- og maksverdiene til f er -8 og 8 respektive.