grenseverdi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 16:47

hva har større prioritet

enn eksponentialfunksjon [tex]e^x[/tex] eller en eksponentiell vekst i form av et grunntall [tex]k^x[/tex] ?

jeg vet at eksponentiell vekst er større enn polynomiell vekst osv.

men betyr det at [tex]2^{x} > x^{100000000000000000000000}[/tex]
når man nærmer seg uendelig?
Gjest offline

Re: grenseverdi

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 16:48

Jepp!
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 16:49

TS, her

er det slik at [tex]e^x > x^10[/tex]
? mtp. dominerende ledd
Gjest offline

Re: grenseverdi

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 16:56

Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.

Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.

Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 19:10

Aleks855 skrev:Ja, eksponentialuttrykk med grunntall større enn 1 (eller mindre enn -1), vokser raskere enn polynomuttrykk.

Du kan tenke på dette fra et derivasjonsperspektiv. Hvis du deriverer et polynom, så synker graden.

Hvis du deriverer et eksponentialuttrykk, så bevares graden.


lurt triks men

[tex]e^x > a^x \forall a[/tex]
eller blir dette feil siden [tex]e = 2.718[/tex] ?
Gjest offline

Re: grenseverdi

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 19:53

$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 19:57

Aleks855 skrev:$e$ er ikke et spesielt tall i denne sammenhengen. $6^x$ vil være mer dominerende enn $e^x$, for eksempel, fordi $6 > e$.


så generelt har vi at [tex]a^x > x^k \forall a, k > 1[/tex]

men hva med [tex]log(x)[/tex] er denne mer dominerende enn begge to?
Gjest offline

Re: grenseverdi

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 20:07

Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 20:11

Aleks855 skrev:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?


[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?
Gjest offline

Re: grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 20:12

Gjest skrev:
Aleks855 skrev:Tegn funksjonene $2^x$, $x^2$ og $\log(x)$ i samme koordinatsystem. Hvilken funksjon ser mer dominerende ut når $x$ blir stor? Og hvilken er helt klart ikke dominerende i det hele tatt?


[tex]2^x[/tex] er mest, så kommer [tex]log(x)[/tex] og til slutt [tex]x^2[/tex] ?


mente til slutt [tex]log(x)[/tex] men det jeg spør om er hvis man har

[tex]3^x, x^10000000, \left ( log(x) \right )^{100000000}[/tex]

vil fremdeles [tex]3^x[/tex] være dominerende her?
Gjest offline

Re: grenseverdi

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 20:15

Ja, $3^x$ er dominerende her.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 20:19

Aleks855 skrev:Ja, $3^x$ er dominerende her.


ah, ok
det er ikke helt intuitivt for meg da jeg av en eller annen grunn tenker at uendelig multiplisert med uendelig er større enn f.eks 3 ^ uendelig = 3*3*3..3^n
Gjest offline

Re: grenseverdi

Innlegg Aleks855 » 11/05-2020 20:34

Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.

Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.

Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6242
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: grenseverdi

Innlegg Gjest » 11/05-2020 20:50

Aleks855 skrev:Det er ikke rart. Matematikken blir sær når prøver å behandle $\infty$ som et tall på den måten.

Det tryggeste er nok, som jeg nevnte såvidt tidligere, å se på at selv om $x^{1000000}$ har et sterkere utgangspunkt for lavere verdier av $x$, så vil $2^x$ bli brattere raskere. Dette er noe vi kan se ved å betrakte hvordan funksjonene oppfører seg under derivasjon.

Etter $1000000$ derivasjoner, så vil $x^{1000000}$ gi en konstant funksjon, mens $2^x$ vil fremdeles være $2^x$, multiplisert med et eller annet tall. Og siden de gjentatte deriverte av en funksjon forteller oss hvordan funksjonen oppfører seg når det gjelder stigning, så er det naturlig å konkludere at $2^x > x^{1000000}$ når $x\to\infty$.


Takk, ble mye klarere nå
Gjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google [Bot] og 13 gjester