Bevis om coset av R

[agadius]

Hei.

Her er oppgaven som jeg skal prøve å løse:

"Show that every left coset of the subgroup Z of the additive group of real numbers (R) contains exactly one element x such that 0 <=x < 1"

Og her er min løsning. Er den korrekt?

Da enhver gruppe er isomorfisk til en permutasjonsgruppe (Cayleys teorem), kan vi si at <R,+> er isomorfisk til permutasjonsgruppen S[sub]X[/sub], og det holder (pga isomorfien) å sjekke at alle venstre kosett gZ, g element i S[sub]X[/sub] inneholder et element x, 0 <= x < 1.

Da enhver permutasjon i en permutasjonsgruppe vil mappe nøyaktig ett element til ett og bare ett annet element (dvs at vi har bare en mapping til tallet 0), ser vi at det finnes bare en x i det venstre coset'et { gZ | g elt i R } der 0 <= x < 1

Hjelp?
Mvh. Egil M.

[Gjest]

Du overkompliserer; det einaste poenget i oppgåva ser ut til å vera at alle reelle tal kan, på ein unik måte, skrivast som summen av eit heiltal og eit tal x, 0 <= x < 1. Dette er velkjent; oppgåveteksten er berre ein omformulering av dette til abstrakt algebra.