emner uio

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

emner uio

Innlegg Gjest » 23/05-2020 01:36

hei
noen som kjenner til om det hadde vært nyttig å ta kompleks analyse og partielle differensiallikninger før emnet fluidmekanikk? jeg kjenner til at det ikke er krav om forkunnskaper , men gir det en fortsatt en fordel?
Gjest offline

Re: emner uio

Innlegg Kay » 23/05-2020 04:15

Gjest skrev:hei
noen som kjenner til om det hadde vært nyttig å ta kompleks analyse og partielle differensiallikninger før emnet fluidmekanikk? jeg kjenner til at det ikke er krav om forkunnskaper , men gir det en fortsatt en fordel?


Spørs litt på hva som er pensum i fluidmekanikkfaget, men det har seg veldig ofte sånn at oppgavene som gis i faget fra det jeg har erfart lar deg gjøre en del antakelser som forenkler PDE'en til en ODE, blant annet at fluidet er inkompressibelt (konstant tetthet), newtonsk (viskositet uavhengig av deformasjon), no-slip condition, altså at fluidet ved grensene (altså f.eks. en vegg) beveger seg med samme hastighet som grensen, konstant trykk oppstår også vanligvis, slik at hastighetsfeltet kun avhenger av komponenten vinkelrett på fluidets flyt.

Bare for å illustrere det jeg sier kan vi ta et eksempel.

Anta at vi har en eller annen sylinder med radius [tex]a[/tex] og lengde [tex]L[/tex] og at et fluid flyter gjennom sylinderen.

Her er det hensiktsmessig å velge et sylindrisk koordinatsystem [tex](r,\theta,z)[/tex]

Vi tenker oss at hastighetsfeltet går i $z$ retningen og at hastigheten varierer med $r$ slik at [tex]v_r=v_\theta=0[/tex], derav at hastigheten i $z$-retning avhenger av $r$, dvs. $v_z(r)$. Vi antar at Fluidflyten er drevet av trykk og at veggene i sylinderen er i ro. Da kan vi også anta at ved [tex]r=a[/tex] er $v_z=0$ og ved $r=0$, dvs. i midten av sylinderen, er $v_z$ en eller annen endelig verdi. Vi antar også steady state, dvs. at variablene som bestemmer oppførselen til systemet ikke forandrer seg med tiden.

Vi ser så på bevegelseslikningene.

Først, kontinuitetslikningen (massebevaring) i sylindriske koordinater, den er ganske stygg, men vi ser fort at den reduseres ganske kraftig.

[tex]\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(\rho rv_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}(\rho v_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho v_z)=0[/tex]

Fra antakelsen om at fluidet var inkompressibelt forsvinner det første leddet. Fra antakelsen om at hastigheten går i $z$-retning og avhenger av $r$ forsvinner det andre og det tredje leddet. Det fjerde forsvinner også, dette skyldes at selv om hastigheten vår er i $z$-retning er den avhengig av $r$, ergo står vi igjen med noe som ikke virker ekstremt nyttig, nemlig at $0=0$.

Hvis vi så betrakter impulsbevarings-likninga, altså Navier-stokes, kan den virke ganske skummel, men ikke la det virke avskrekkende. Navier stokes er gitt ved

[tex]\rho \frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p\ +\rho \textbf{g}+\mu \nabla^2 \textbf{v}[/tex]

Tar vi den komponentvis i sylindriske koordinater blir den enda styggere, men du skal snart se at den reduseres ganske fint, så; Navier-stokes komponentvis i sylindriske koordinater gis ved

i $r$ retning :[tex]\rho \left( \frac{\partial v_r}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}-\frac{v_\theta^2}{r}+v_z \frac{\partial v_r}{\partial z} \right )=-\frac{\partial p}{\partial r}+\rho g_r+\mu\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_r) \right )+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2v_r}{\partial\theta^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial^2v_r}{\partial z^2} \right ][/tex]

i $\theta$ retning: [tex]\rho \left( \frac{\partial v_\theta}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r}+\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}+\frac{v_rv_\theta}{r}+v_z \frac{\partial v_\theta}{\partial z} \right )=-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta}+\rho g_\theta+\mu\left[\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_\theta) \right )+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2v_\theta}{\partial\theta^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}+\frac{\partial^2v_\theta}{\partial z^2} \right ][/tex]

i $z$ retning: [tex]\rho \left( \frac{\partial v_z}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}+v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \right )=-\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g_z+\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}(rv_z) \right )+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2v_z}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2v_z}{\partial z^2} \right ][/tex]

Hvis vi nå ser på venstre siden til likningen i $x$ retning kan vi se fra steady state at det første leddet forsvinner. Vi kan også fra antakelsen $v_r=v_\theta=0$ se at det andre, tredje, fjerde og femte leddet forsvinner. Hvis vi hopper over til høyre siden kan vi fra antakelsen om at fluidflyten er drevet av trykk eliminere gravitasjonsleddet, videre kan vi legge merke til at alle leddene kun avhenger av $v_r$ og $v_\theta$ og at de dermed også forsvinner. Ergo får vi [tex]\frac{\partial p}{\partial r}=0[/tex].

Akkurat samme logikken kan vi bruke på theta-retning og enkelt observere at [tex]\frac{\partial p}{\partial\theta}=0[/tex]

Hvis vi anvender det på $z$ retningen kan vi observere at hele venstre siden forsvinner. Hvis vi derimot ser på høyresiden, kan vi se at vi har et ledd [tex]\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial v_z}{\partial r} \right )[/tex] som faktisk ikke forsvinner. Dette er fordi vår $v_z$ avhenger av $r$. Så da får vi en tredje likning [tex]\frac{\partial p}{\partial z}=\frac{\mu}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial v_z(r)}{\partial r} \right )[/tex].

Fra de tidligere utledningene har vi sett at [tex]\frac{\partial p}{\partial z}[/tex] kun er en funksjon av $z$, den partiellderiverte i andre er null. Vi ser også at høyre siden kun er en funksjon av $r$.

Ergo reduserer vi en ellers ganske stygg PDE til den betraktelig enklere ODEen

[tex]\frac{dp}{dz}=\frac{\mu}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_z(r)}{dr} \right )[/tex].

Herfra er det egentlig bare et matematikk-problem. Det kan vises med litt matematisk mumbo-jumbo og noen antakelser om konstant trykkgradient at

[tex]\frac{dp}{dz}=-\frac{\Delta p}{L}[/tex] og derfra er det såre enkelt å løse likninga.

[tex]-\iint\frac{r}{\mu}\frac{\Delta p}{L}dr=\iint\frac{d}{dr}\left(r\frac{dv_z(r)}{dr} \right )dr\Rightarrow v_z(r)=\frac{r^2}{4\mu}\frac{\Delta p}{L}+C_1\ln(r)+C_2[/tex]

Ved å plugge inn initialverdibetingelsene får vi

[tex]v_z(r)=\frac{a^2}{4\mu}\frac{\Delta p}{L}\left(1-\frac{r^2}{a^2} \right )[/tex]

Slik har vi redusert en ganske stygg PDE til en enkelt løselig ODE.

Det skal likevel sies at du antakeligvis vil sette mer pris på fluidmekanikken rent matematisk ved å ha tatt en eller annen modul i PDEer og Kompleks analyse, men jeg tror nok du kommer deg igjennom lavere nivås fluidmekanikk uten.
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 577
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 23 gjester