matematikk.net

En kjegleformet tank med spissen ned har radius 10 dm og høyde 20 dm. Vi leder vann inn i
tanken med en innstrømningshastighet på 1 liter per minutt.
Regn ut veksthastigheten til arealet av vannoverflata når vanndybden er 8 dm.

Volumet til kjeglen har jeg: (pi*(10dm)^2*(20dm))/3
Sliter alltid med å sette opp ligning og derivere, setter pris på litt hjelp

Gjest skrev:En kjegleformet tank med spissen ned har radius 10 dm og høyde 20 dm. Vi leder vann inn i
tanken med en innstrømningshastighet på 1 liter per minutt.
Regn ut veksthastigheten til arealet av vannoverflata når vanndybden er 8 dm.

Volumet til kjeglen har jeg: (pi*(10dm)^2*(20dm))/3
Sliter alltid med å sette opp ligning og derivere, setter pris på litt hjelp

a)

[tex]V'(t)=\frac{dV}{dt}=2\pi R \frac{dR}{dt}H\frac{1}{3}[/tex]

putte inn det du veit, og R ' (t) fås.

b)

[tex]A=\pi r^2\\ A'(t)=2 \pi r r'(t)[/tex]

finn r, og dytt inn i b). Da finner du A'(t)

Janhaa skrev:

Gjest skrev:En kjegleformet tank med spissen ned har radius 10 dm og høyde 20 dm. Vi leder vann inn i
tanken med en innstrømningshastighet på 1 liter per minutt.
Regn ut veksthastigheten til arealet av vannoverflata når vanndybden er 8 dm.

Volumet til kjeglen har jeg: (pi*(10dm)^2*(20dm))/3
Sliter alltid med å sette opp ligning og derivere, setter pris på litt hjelp

a)

[tex]V'(t)=\frac{dV}{dt}=2\pi R \frac{dR}{dt}H\frac{1}{3}[/tex]

putte inn det du veit, og R ' (t) fås.

b)

[tex]A=\pi r^2\\ A'(t)=2 \pi r r'(t)[/tex]

finn r, og dytt inn i b). Da finner du A'(t)

Oppfatter det slik at $r$ står for radien i vannkjeglen.
Men jeg skjønner ikke helt hva $R$ og $H$ står for her.

Her er det flere veier til samme svar ettersom man kan ta utgangspunkt i enten høyden eller radiusen ved et gitt tidspunkt. Her er mitt forsøk:

La [tex]h[/tex] være vannhøyden målt fra spissen/bunnen ved et gitt tidspunkt, og la [tex]r[/tex] være radien til vannkanten ved samme tidspunkt (i høyden h). Begge disse vil derfor samvariere i tid mens vi fyller på vann.

Fra formlikhet ser vi at $h = 2r$ (tegn gjerne et tverrsnitt av kjeglen). Da kan vi uttrykke volumet som en funksjon av radiusen [tex]r[/tex]:

[tex]V(r) = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^3[/tex].

Vi kan derivere dette med hensyn på tiden [tex]t[/tex]:

[tex]\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = 2 \pi r^2 \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}[/tex]

Vi kan evalurere dette i r=4 dm (når høyden er 8 dm), slik at vi får [tex]\frac{dr}{dt}\bigg\rvert_{r=4} = \frac{1}{32 \pi}[/tex] ettersom [tex]\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = 1[/tex]

Deretter kan vi finne arealet til vannoverflaten som funksjon av radius:

[tex]A(r) = \pi r^2[/tex] slik at [tex]\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}[/tex]

Hvis vi evalurer dette i r=4 får vi: [tex]\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} \bigg\rvert_{r=4} = \frac{1}{4} \mathrm{dm}^2/ \mathrm{min}[/tex]

Håper dette ble riktig, men kan være lurt å undersøke med fasit dersom du har tilgang til det

Jeg løste oppgaven og fikk samme svar: Arealet av vannflaten øker med $\frac{1}{4} dm^2$ per minutt. Så oppdaget jeg at jeg hadde satt kjeglens radius til 5 og ikke til 10 slik det står i oppgaveteksten, men jeg var ikke i stand til å finne regnefeilen som gjorde at jeg likevel fikk svaret $\frac14$. Satte så forholdet mellom radien og høyden i kjeglen til $k = \frac xh, \, x = hk$
$x = $ radien i vannkjeglen,$, h = $ høyden i denne. Volumet av vannkjeglen
$ = V = h^2k^2\pi h\frac13 = \frac{h^3\pi k^2}{3}$
$V´= h^2\pi k^2h´= 1, h´= \frac{1}{\pi k^2h^2}$
Arealet av vannflaten, $A = h^2k^2\pi,\,A´= k^2\pi 2h\cdot h´= \frac{k^2\pi 2h}{\pi k^2h^2} =\frac{2}{h}$
k forkortes altså bort. Følgelig er arealøkningen per tidsenhet av vannflaten på et gitt tidspunkt uavhengig av k og "spissheten" til kjeglen. Kontraintuitivt?

josi skrev:Jeg løste oppgaven og fikk samme svar: Arealet av vannflaten øker med $\frac{1}{4} dm^2$ per minutt. Så oppdaget jeg at jeg hadde satt kjeglens radius til 5 og ikke til 10 slik det står i oppgaveteksten, men jeg var ikke i stand til å finne regnefeilen som gjorde at jeg likevel fikk svaret $\frac14$. Satte så forholdet mellom radien og høyden i kjeglen til $k = \frac xh, \, x = hk$
$x = $ radien i vannkjeglen,$, h = $ høyden i denne. Volumet av vannkjeglen
$ = V = h^2k^2\pi h\frac13 = \frac{h^3\pi k^2}{3}$
$V´= h^2\pi k^2h´= 1, h´= \frac{1}{\pi k^2h^2}$
Arealet av vannflaten, $A = h^2k^2\pi,\,A´= k^2\pi 2h\cdot h´= \frac{k^2\pi 2h}{\pi k^2h^2} =\frac{2}{h}$
k forkortes altså bort. Følgelig er arealøkningen per tidsenhet av vannflaten på et gitt tidspunkt uavhengig av k og "spissheten" til kjeglen. Kontraintuitivt?

Strengt tatt blir vel arealøkningen per tidsenhet ved en gitt høyde [tex]h[/tex] uavhengig av spissheten, men ikke ved et gitt tidspunkt? Hvor lang tid det tar før vannet når denne høyden kommer vel an på hvor spiss kjeglen er. Det er likevel er veldig interessant resultat, og jeg er enig at det ikke er spesielt intuitivt. Jeg hadde nok aldri lagt merke til det om du ikke hadde påpekt det her

Strengt tatt blir vel arealøkningen per tidsenhet ved en gitt høyde h uavhengig av spissheten, men ikke ved et gitt tidspunkt?

Takk for kommentar. Kanskje jeg uttrykte meg klønete. Håper det følgende er bedre:
Siden høyden øker monotont med tiden, må hastigheten til vannflatens utbredelse, $A´$, være uavhengig av spissheten ved alle tidspunkter.