matematikk.net

trenger hjelp til å finne summen av denne rekken

-1 - (2+3)/5 - (2^2+3^2) / (5^2) - (2^3 + 3^3) / (5^3) - ....... (til uendelig)

maria1908 skrev:trenger hjelp til å finne summen av denne rekken

-1 - (2+3)/5 - (2^2+3^2) / (5^2) - (2^3 + 3^3) / (5^3) - ....... (til uendelig)

Hint: $\sum_{n=0}^\infty a^n = \frac1{1-a}$ dersom $|a| < 1$.

Innfører desse " hjelperekkjene " :

S[tex]_{n,1}[/tex] = 1 + [tex]\frac{2}{5}[/tex] + ( [tex]\frac{2}{5}[/tex] )[tex]^{2}[/tex] + .....+ ([tex]\frac{2}{5}[/tex] )[tex]^{n - 1}[/tex] , n [tex]\geq[/tex] 1

S[tex]_{n,2}[/tex] = 1 + [tex]\frac{3}{5}[/tex] + ( [tex]\frac{3}{5}[/tex] )[tex]^{2}[/tex] + ..... + ( [tex]\frac{3}{5}[/tex] )[tex]^{n - 1}[/tex], n [tex]\geq[/tex] 1

Både S[tex]_{n,1}[/tex] og S[tex]_{n,2}[/tex] konvergerer ettersom kvotienten [tex]\left | k \right |[/tex] < 1

Summen S = S[tex]_{1}[/tex] + S[tex]_{2}[/tex] = [tex]\frac{a_{1,1}}{1 - k_{1} }[/tex] + [tex]\frac{a_{1,2}}{1 - k_{2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{1 - \frac{2}{5}}[/tex] + [tex]\frac{1}{1 - \frac{3}{5}}[/tex] =
[tex]\frac{5}{3}[/tex] + [tex]\frac{5}{2}[/tex] = [tex]\frac{25}{6}[/tex]

Rekkja i oppgaveteksta kan skrivast

S[tex]_{n,oppg}[/tex] = 1 - S[tex]_{n,1}[/tex] - S[tex]_{n,2}[/tex]

Summen S[tex]_{oppg}[/tex] = 1 - (S[tex]_{1}[/tex] + S[tex]_{2}[/tex])= 1 - [tex]\frac{25}{6}[/tex] = - [tex]\frac{19}{6}[/tex]

Ska' tru om dette stemmer ?