Mat111

[Moka]

veit noen kos vi løse disse 2?
a) En bil kjører på en sirkulær bane med radius 1 (km). I det sydligste punktetpå banen står en radarmåler. Ved et gitt tidspunkt er bilen 1/2 km fra målerenog avstanden mellom bilen og måleren øker med 50 km/h. Hvor fort kjørerbilen nordover?
(b) En kurve er gitt vedxcos(πxy) =x+y+ 1. Finn tangenten og normalen tilkurven i punktet(0,−1).

[josi]

veit noen kos vi løse disse 2?
a) En bil kjører på en sirkulær bane med radius 1 (km). I det sydligste punktetpå banen står en radarmåler. Ved et gitt tidspunkt er bilen 1/2 km fra målerenog avstanden mellom bilen og måleren øker med 50 km/h. Hvor fort kjørerbilen nordover?
(b) En kurve er gitt vedxcos(πxy) =x+y+ 1. Finn tangenten og normalen tilkurven i punktet(0,−1).

a) Vi kan tenke oss at radarmåleren er plassert i origo i et aksesystem hvor x-aksen går i sør-nord-retning. Den sirkulære banen har da sentrum i punktet (1,0) og radien er 1. Med polarkoordinater vil vi ha at bilens avstand fra radarmåleren,

$r = \sqrt{(1 + 1\cdot cos(2u))^2 + 1\cdot sin^2(2u)} = $
$\sqrt{1 + 2cos(2u) + cos^2(2u) + sin^2(2u)} = $
$\sqrt{2 + 2cos(2u)} = \sqrt2 \cdot \sqrt{1 + cos(2u)} =$
$\sqrt2\frac{\sqrt{1 + cos(2u)}}{\sqrt2}\cdot\sqrt2 =$
$2cos(u)$

hvor u er vinkelen mellom radarstrålen og x-aksen. Den går fra

$\frac{-\pi}{2}\,til \,\frac{\pi}{2}$.

En stråle med lengde $l_1= \frac{1}{2}$
gir en vinkel $ u = cos^{-1}(\frac{1}{4})$

I dette punktet hvor avstanden til origo er en halv kilometer, vil farten vekk fra origo være 50 km/t. Dette tilsvarer ca.14 m/s = 0.014 km/s. På ett sekund har da bilen beveget seg 0.014 km lenger vekk fra origo. Den nye posisjonen blir:
$l_2 = \frac{1}{2} + 0.014 = 2cos(u), \, (\frac{1}{4} + 0.07) = cos(u)$

Farten rett nordover blir differansen mellom x-komponenten til den nye posisjonen og x-komponenten til den gamle:
$l_{x2} - l_{x1} = (\frac{1}{2} + 0.014)\cdot(\frac{1}{4} + 0.007) - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}$
$= 0.132 - 0.125 0 = 0.007 $
Dette er i km/s. Det tilsvarer 25.2 km/t.