Teknikker for variabelskifte til bruk i integrering

[RettsirkletTrekant]

Hei! Jeg sliter med å finne gode generelle teknikker for å finne (u,v)-substitusjoner ved variabelskifte til bruk i dobbel-integraler. Jeg lurer derfor på om det er noen som har noen lure fremgangsmåter de benytter seg av ved variabelskifte.
Jeg føler jeg ofte fomler i mørket når jeg jobber med slike oppgaver. Jeg velger å legge ved et eksempel på en oppgave der dette er tilfellet. Den går som følger:

(Jeg innser at det ble mye å sette seg inn i her, så hvis det blir for mye er jeg hovedsakelig interessert i gode teknikker for variabelskifte)

Beregn [tex]\int_R (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}A[/tex], der [tex]R[/tex] er området i første kvadrant begrenset av: [tex]y = 0[/tex], [tex]y=x[/tex], [tex]xy=1[/tex] og [tex]x^2+y^2=1[/tex]
Jeg har kommet fram til [tex]u = xy[/tex] og [tex]v = x^2-y^2[/tex].

Tankeprosessen min var slik:
Målet er å finne to substitusjoner som gjør området enklere å integrere over. Disse substitusjonene må erstatte [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] med [tex]u[/tex] og [tex]v[/tex] i funksjonene som definerer området [tex]R[/tex]. Hvis en ser på likningen [tex]xy = 1[/tex], kan en for eksempel velge [tex]u=x[/tex] og [tex]v=y[/tex]. Dette vil fjerne både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex]. Problemet som da oppstår er at tre av likningene som definerer området [tex]R[/tex] inneholder både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex]. Dersom en bruker [tex]u=x[/tex] og [tex]v=y[/tex] vil en få tre integrasjonsgrenser som er et uttrykk av u og v. Dette vil ikke fungere siden det ytre integralet ikke kan ha en grense som er en funksjon av det en integrerer mhp. i det indre integralet. F.eks. er følgende ikke mulig: [tex]\int_{x=a}^{x=y} \, \mathrm{d}x \int_{y=d}^{y=c} \, \mathrm{d}y[/tex]. Videre (så vidt jeg kan se uten å strekke fantasien for langt) går det ikke an å bli kvitt både x og y i xy=1 ved innsetting av funksjoner av både u og v uten at disse substitusjonene enten gir tre integrasjonsgrenser som er funksjoner av både u og v, eller at de skaper problemer med å bli kvitt alle [tex]x[/tex]-er og [tex]y[/tex]-er i alle likninger.

Dermed følger det at enten [tex]v[/tex] eller [tex]u[/tex] må være lik [tex]x\cdot y[/tex]. Velger derfor [tex]u = xy[/tex].
Ser så på [tex]x^2-y^2=1[/tex]. Ettersom likningen [tex]xy=1[/tex] krever at [tex]u[/tex] må være lik [tex]xy[/tex], er [tex]v = x^2-y^2[/tex] det eneste valget som gjør det mulig å substituere bort både [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] i denne ligningen.
Disse valgene av u og v gjør det heldigvis også mulig å skrive [tex]dA = det(J(u,v))\cdot dudx \Rightarrow dA = \frac{1}{det(J(x,y)) }\cdot dudx \Rightarrow (x^2+y^2)\cdot dA = \frac{1}{2} \cdot dudx[/tex] som blir kvitt [tex](x^2+y^2)[/tex], og gir et heller enkelt integral å løse.

Dette er det jeg har kommet fram til ved prøving og feiling, og jeg er heller ikke sikker på om logikken stemmer. Det må da finnes noen regler eller fremgangsmåter som gjør denne prosessen enklere? Hvordan er det lurt å tenke når det kommer til variabelskifte for dette integralet? Noen andre generelle tips og triks?

[josi]

Beregn ∫R(x2+y2)dA, der R er området i første kvadrant begrenset av: y=0, y=x, xy=1 og x2+y2=1
Jeg har kommet fram til u=xy og v=x2−y2.

Såvidt jeg kan se er området det skal integreres over, sirkelsektoren på 45 grader over x-aksen. xy = 1 er overflødig. Her byr vel polarkoordinater seg frem som det enkleste. Så vi får:
$ x = rcos\theta, y = rsin\theta, x^2 + y^2 = r^2$
$\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{r = 0}^1r^2\cdot rdrd\theta$

[Mattebruker]

Josi meiner at infoen x[tex]\cdot[/tex] y = 1 er overflødig. Eg tolkar oppgåva annleis.
Hyperbelen xy = 1 kryssar linja y = x i punktet (1 , 1 ) . Dette punktet avgrensar området R saman med dei andre vilkåra. Det gjer at R ligg utanfor einingssirkelen og vi endar opp med desse integrasjonsgrensene :

1 [tex]\leq[/tex] r [tex]\leqslant[/tex] [tex]\frac{1}{cos\theta }[/tex]

[RettsirkletTrekant]

Tusen takk for svar!
Her har en liten skriveleif lurt seg med i innlegget mitt. Beklager så mye!
[tex]R[/tex] skal være avgrenset av funksjonene [tex]y=0[/tex], [tex]y=x[/tex], [tex]xy=1[/tex] og [tex]x^2-y^2=1[/tex] i første kvadrant. Dette gir et område omtrent som det røde feltet på bildet under (Jeg klarte ikke å få feltet til å følge kurvene, dette er bare en visualisering for å gi en idé om hvordan området ser ut)


Ingen av funksjonene er overflødige ettersom de til sammen definerer området.
Jeg vil tro at det går an å bruke polarkoordinater til å utføre dette integralet, men slik jeg ser det, resulterer dette i å stykke opp det initielle integralet i to integraler med separate integrasjonsområder. Her er jeg heller ute etter noe som kan konvertere hele området i (x,y)-planet om til et tilsvarende område i (u,v)-planet, slik som substitusjonene i mitt forrige innlegg tillater. Jeg er dessuten interessert i tankeprosessen som ligger bak denne operasjonen. - Hvordan kommer man fortere til denne konklusjonen. Finnes det triks som tillater hurtigere slutninger når det kommer til variabelskifte på generell basis?
Takk!

[Gustav]

Tusen takk for svar!
Takk!

Ikke ta det personlig, men disse smilefjesene begynner å gå meg på nervene. Både malplassert, og de virker mot sin hensikt.