eksponetialfunsjon

[gjest]

lurer på om noen kan hjelpe litt med følgende oppgave

et legeme som har temperaturen 100 grader plasseres ved tidspunkt t=0 et sted der temperaturen er konstant 20 grader. La T(t) være legemets temperatur etter t sekunder.

a) hva kan du si om tallet T'(t)?

Tallet T'(t) er proporsjonalt med temperaturforskjellen mellom legemet og omgivelsene.

b) finn et utykk for T(t)

[Solar Plexsus]

a) Ettersom temperaturen av legemet faller fra 100 til 20 grader, vil grafen til T(t) være strengt avtagende. Altså er (stignings)tallet T'(t)<0.

b) Temperaturforskjellen T(t) - 20 er proporsjonal med T'(t), dvs. at

(1) T'(t) = -k (T(t) - 20)

der k er en positiv konstant. (1) er ekvivalent med differensiallikningen

dT/dt = -k(T - 20)

[itgl][/itgl]dT/(T - 20) = -k[itgl][/itgl]dt

ln(T - 20) = -kt + c[sub]0[/sub] (c[sub]0[/sub] vilkårlig konstant)

e[sup]ln(T - 20)[/sup] = e[sup]-kt + c[sub]0[/sub][/sup]

T - 20 = e[sup]c[sub]0[/sub][/sup]*e[sup]-kt[/sup]

T(t) = 20 + c[sub]1[/sub]e[sup]-kt[/sup]

der c[sub]1[/sub]=e[sup]c[sub]0[/sub][/sup]. Nå er T(0)=100, som innsatt i (1) gir

T(0) = 20 + c[sub]1[/sub] = 100,

så c[sub]1[/sub] = 80. Dermed blir

T(t) = 20 + 80e[sup]-kt[/sup].