Presenterer ei oppgave som eg håpar fell i smak blant brukarane av denne nettstaden.
Delspørsmål a) ligg innafor R2-pensum, medan del b) ligg eit hakk over vgs-nivå.
a) Finn det ubestemte integralet [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{cos^{4}( x ))}[/tex] dx
Hint: [tex]\frac{1}{cos^{2}( x ))}[/tex] = 1 + tan[tex]^{2}[/tex]( x )
b) Området R i første kvadrant er avgrensa av linja y = x , x = 1 og linja y = 0 ( x-aksen ).
Rekn ut [tex]\int \int _{R}[/tex] ( x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] ) dxdy
Grei integrasjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For $b$ er området både x og y enkelt, ergoMattegjest skrev:Presenterer ei oppgave som eg håpar fell i smak blant brukarane av denne nettstaden.
Delspørsmål a) ligg innafor R2-pensum, medan del b) ligg eit hakk over vgs-nivå.
a) Finn det ubestemte integralet [tex]\int[/tex][tex]\frac{1}{cos^{4}( x ))}[/tex] dx
Hint: [tex]\frac{1}{cos^{2}( x ))}[/tex] = 1 + tan[tex]^{2}[/tex]( x )
b) Området R i første kvadrant er avgrensa av linja y = x , x = 1 og linja y = 0 ( x-aksen ).
Rekn ut [tex]\int \int _{R}[/tex] ( x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] ) dxdy
[tex]\iint_R (x^2+y^2)dA=\int_0^1\int_0^x(x^2+y^2)dydx=\frac{1}{3}[/tex]
-
Mattebruker
Sjølvsagt heilt korrekt ! Eit trivielt problem for ein herre med adresse Gløshaugen ( NTNU ).
Kontroll: Vis at vi får same svaret ved å innføre polarkoordinatar (r , [tex]\theta[/tex] ).
Kontroll: Vis at vi får same svaret ved å innføre polarkoordinatar (r , [tex]\theta[/tex] ).
-
josi
Ved å velge den kompliserte måten kan man ta i bruk resultatet fra a).
$\int\frac{1}{cos^4(x)}dx = \frac{1}{3}tan(x)(\frac{1}{cos^2(x)} + 2) + C$
Dette integralet vises ved delvis integrasjon og at
$\int\frac{1}{cos^2(x)}dx = tan(x) + c$
Ved å ta i bruk polarkoordinater blir
$x^2 + y^2 = r^2$
$\int_{\theta = 0}^\frac{\pi}{4}\int_{r = 0}^\frac{1}{cos(\theta)}r^2\cdot rdrd\theta$
$= \int_0^{\frac{\pi}{4} }\frac{1}{4}[ r^4 ] d\theta$
hvor integralet evalueres fra 0 til $\frac{1}{cos(\theta)}$
$ = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos^4(\theta)}d\theta$
$ =\frac{1}{4}[\frac{1}{3}tan{\theta}(\frac{1}{cos^2(\theta)} + 2)] $
evaluert fra 0 til
$\frac{\pi}{4}$
$= \frac{1}{4}\frac{1}{3}( \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2) = \frac{1}{3}$
$\int\frac{1}{cos^4(x)}dx = \frac{1}{3}tan(x)(\frac{1}{cos^2(x)} + 2) + C$
Dette integralet vises ved delvis integrasjon og at
$\int\frac{1}{cos^2(x)}dx = tan(x) + c$
Ved å ta i bruk polarkoordinater blir
$x^2 + y^2 = r^2$
$\int_{\theta = 0}^\frac{\pi}{4}\int_{r = 0}^\frac{1}{cos(\theta)}r^2\cdot rdrd\theta$
$= \int_0^{\frac{\pi}{4} }\frac{1}{4}[ r^4 ] d\theta$
hvor integralet evalueres fra 0 til $\frac{1}{cos(\theta)}$
$ = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{cos^4(\theta)}d\theta$
$ =\frac{1}{4}[\frac{1}{3}tan{\theta}(\frac{1}{cos^2(\theta)} + 2)] $
evaluert fra 0 til
$\frac{\pi}{4}$
$= \frac{1}{4}\frac{1}{3}( \frac{1}{\frac{1}{2}} + 2) = \frac{1}{3}$