Finne størst mulig areal

[Gjest]

Har en oppgave jeg ikke får til og lurer på om noen kan hjelpe
Oppgaven går slik:

Vi har en ellipse med et innskrevet rektangel. Hva er det største mulige arealet et slikt innskrevet rektangel kan være. ellipsen er gitt ved: [tex]4x^{2}+y^{2}=4[/tex]

Vi velger så punktet A(x,y) til å ligge på ellipsa og er ett av hjørnene til rektangelet. La f være arealet til det innskrevne rektangelet. Vis at dette kan skrives som: [tex]f(x)=8x\sqrt{1-x^{2}}, 0<x<1[/tex]
Deretter finn punktet A på ellipsa som gir det største arealet. Hva blir arealet da?

[josi]

Du må derivere uttrykket for arealet og finne de(n) x-verdien(e) som gjør at den deriverte = 0. Hvis den deriverte i dette punktet slår om fra positiv til negativ verdi, vil vi ha å gjøre med et maksimumspunkt.

[Gjest]

Du må derivere uttrykket for arealet og finne de(n) x-verdien(e) som gjør at den deriverte = 0. Hvis den deriverte i dette punktet slår om fra positiv til negativ verdi, vil vi ha å gjøre med et maksimumspunkt.

Mener du at jeg må derivere [tex]f(x)[/tex]? og så sette [tex]f'(x)=0[/tex]? isåfall får jeg [tex]-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] som vil vel vise at den har et maksimumspunkt? Er dette nok til å vise at det kan skrives som [tex]f(x)=8x\sqrt{1-x^2}[/tex]? isåfall hvordan går jeg fremover med neste del av oppgaven?

[josi]

Du må derivere uttrykket for arealet og finne de(n) x-verdien(e) som gjør at den deriverte = 0. Hvis den deriverte i dette punktet slår om fra positiv til negativ verdi, vil vi ha å gjøre med et maksimumspunkt.

Mener du at jeg må derivere [tex]f(x)[/tex]? og så sette [tex]f'(x)=0[/tex]?
ja
isåfall får jeg [tex][tex][/tex]-\frac{\sqrt{3}}{3},
Sikker på at du ikke fikk $\frac{\sqrt{2}}{2}$?
\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] som vil vel vise at den har et maksimumspunkt? Er dette nok til å vise at det kan skrives som [tex]f(x)=8x\sqrt{1-x^2}[/tex]? isåfall hvordan går jeg fremover med neste del av oppgaven?

Du setter inn x-verdien som gir maksimum i formelen for arealet og regner ut det maksimale arealet.

[Mattebruker]

Alternativ løysing :

Av symmetrigrunnar er det tilstrekkeleg å betrakte den delen av det innskrivne rektanglet som ligg i første kvadrant.
Det " optimale " rektangelet er homotetisk ( likeforma ) med det rektanglet som omsluttar ellipsen ( her brukar vi sentrum i ellipsen ( origo ) som likheitspunkt ) . Hjørna i dei to rektangela må derfor ligge på den rette linja som er bestemt av halvaksane ( a = 1 og b = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ) i ellipsen. Da får vi linja


y = [tex]\frac{b}{a}[/tex] x = [tex]\frac{\frac{1}{2}}{1}[/tex] x = [tex]\frac{1}{2}[/tex] x

Set inn for y i ellipselikninga og får hjørnet ( [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] , [tex]\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex] )

Størst mogleg areal : A[tex]_{_{maks}}[/tex] = 4 [tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}}{2}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]

[Mattebruker]

Ellipselikninga

4x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] = 4

kan skrivast på forma

( * ) [tex]\frac{x^{2}}{1^{2}}[/tex] + [tex]\frac{y^{2}}{2^{2}}[/tex] = 1

Skrivemåten ( * ) viser at halvaksane a = 1 og b = 2 .

Rektangelet( R ) som omsluttar ellipsen er bestemt av halvaksane a og b.
Det " optimale " rektangelet( r ) som innskrivast i ellipsen er homotetisk( likeforma ) med R.

Betraktar den delen av r som ligg i 1. kvadrant. Fordi r og R er homotetiske figurar
med origo( 0 , 0 ) som likheitspunkt( multiplikasjonssentrum ), må hjørna i dei to rektangla ligge på linja

y = [tex]\frac{b}{a}[/tex] x = [tex]\frac{2}{1}[/tex] x = 2 x

Finn hjørnet H( x , y ) i r

Sett y = 2x i ellipselikninga og får pnktet H( [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] , [tex]\sqrt{2}[/tex] )
Finn A[tex]_{maks}[/tex]

Koordinataksane deler opp rektanglet r i fire kongruente "smårektangel". Da er arealet

A[tex]_{maks}[/tex] = 4 [tex]\cdot[/tex] l [tex]\cdot[/tex] b = 4[tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\sqrt{2}[/tex] = 4