Diff.likning.

[En vill en]

Med fare for at tråden blir ødelagt av "sexmen", løs initialverdi-problemet
y' = y/2x ; y(1) = 1
og finn den allmenne løsningen av diff.likningen x[sup]2[/sup]y' + 2xy = e[sup]x[/sup]

[Goethe]

y`=y/2x dette er en separabel diff.likn

dy/dx =y/2x → dy/y=dx/2x

Ved integrasjon finner du lny=(1/2)lnx+C[sub]1[/sub]

y=[rot]x[/rot]+C

y(1)=[rot]1[/rot]+C=1 →C=0

Løsningen på initialverdiproblemet blir altså y=[rot]x[/rot]

x[sup]2[/sup]y`+2xy=e[sup]x[/sup]

Om du bruker produktregelen for derivasjon baklengs på venstresiden så ser du at den kan skrives som;

d(x[sup]2[/sup]y)/dx

Så integrerer du begge sider av likningen;

x[sup]2[/sup]y=e[sup]x[/sup]+C

Den generelle løsningen blir da;

y=e[sup]x[/sup]x[sup]-2[/sup]+Cx[sup]-2[/sup]