Grenseverdier

[Gjest]

lim x-> 0 (x (ln x)^2)

lim x-> uendelig (xe^-3x)

[Solar Plexsus]

Disse to grenseverdiene kan beregnes vha. av L' Hopitals regel:

lim[sub]x->0[/sub] x*(lnx)[sup]2[/sup]
= lim[sub]x->0[/sub](lnx / x[sup]-1/2[/sup])[sup]2[/sup]
= [ lim[sub]x->0[/sub] lnx / x[sup]-1/2[/sup] ][sup]2[/sup]
= [ lim[sub]x->0[/sub] d/dx(lnx) / d/dx(x[sup]-1/2[/sup]) ][sup]2[/sup]
= [ lim[sub]x->0[/sub] x[sup]-1[/sup] / (-x[sup]-3/2[/sup]/2) ][sup]2[/sup]
= [ lim[sub]x->0[/sub] -2x[sup]1/2[/sup] ][sup]2[/sup]
= [ -2*[rot][/rot]0 ] [sup]2[/sup]
= 0.


lim[sub]x->∞[/sub] x*e[sup]-3x[/sup]
= lim[sub]x->∞[/sub] x / e[sup]3x[/sup]
= lim[sub]x->∞[/sub] d/dx(x) / d/dx(e[sup]3x[/sup])
= lim[sub]x->∞[/sub] 1 / (3e[sup]3x[/sup])
= 0.

[Gjest]

Takker! Kunne man brukt "squeeze law" på den første?

[Solar Plexsus]

Man kan bruke "squeeze law" på den første grenseverdien hvis man kan finne en funksjon f slik at │lnx│< f(x) når x->0 og lim[sub]x->0[/sub] x*[f(x)][sup]2[/sup] = 0. For eksempel tilfredsstiller funksjon f(x) = x[sup]-0,4[/sup] disse kravene.

Nå ser jeg imidlertid at det jeg strengt tatt har bevist, er at den ensidige grenseverdien

lim[sub]x->0[sup]+[/sup][/sub] x*(lnx)[sup]2[/sup] = 0.

En grunnleggende forutsetning for at grenseverdien lim[sub]x->0[/sub] x*(lnx)[sup]2[/sup] eksisterer, er jo at funksjonen x*(lnx)[sup]2[/sup] er kontinuerlig i x=0. Dette forutsetter finnes en δ>0 slik at denne funksjonen er definert i intervallet <-δ,δ>. Men x*(ln(x))[sup]2[/sup] er ikke definert for x≤0, så den tosidige grenseverdien lim[sub]x->0[/sub] x*(lnx)[sup]2[/sup] eksisterer ikke.