Sannsynlighet med myntkast

[gjesten123]

Oppgave: Jeg skal knipse en mynt helt til jeg får kron.
* Så skal jeg lage en beskrivelse av utfallsrommet S og skrive opp en tilfeldig variabel X som beskriver hvor
mange kast jeg må gjøre før jeg er i mål. Skal så finne den tilhørende sannsynlighetsfunksjonen, p.
* Til slutt skal jeg også skrive et uttrykk for forventningsverdien E(X)?

Kan noen hjelpe og forklare hvordan svaret på denne oppgaven skal se ut? Forstår ikke helt hvordan jeg skal gå fram. Høres jo egentlig veldig enkelt ut?

[Mattebruker]

Definerer

stokastisk variabel X: Antal gongar vi må knipse for å få kron( K )

P( X = 1 ) = P( K ) = [tex]\frac{1}{2}[/tex]

P( X = 2 ) = P( M ) [tex]\cdot[/tex] P( K ) = [tex]\frac{1}{2}[/tex]

[Mattebruker]

"Miste" første innlegget mitt , og gjer difor eit nytt forsøk:

Myntkast har to moglege utfall: Mynt( M ) og kron( K )

P( M ) = P( K ) = [tex]\frac{1}{2}[/tex]

P( X = 1 ) = P( K) = [tex]\frac{1}{2}[/tex]

P( X = 2 ) = P( M ) [tex]\cdot[/tex]P( K ) = ([tex]\frac{1}{2}[/tex])[tex]^{2}[/tex]
.
.
.
.
P( X = n ) = [P( M )][tex]^{n-1}[/tex][tex]\cdot[/tex]P( K ) = ( [tex]\frac{1}{2}[/tex] )[tex]^{n}[/tex]

Forventningsverdien E( X ) ( n[tex]\rightarrow[/tex]inf ) = lim( n[tex]\rightarrow[/tex][tex]\infty[/tex] )( 1[tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1}{2}[/tex] +.........+ n[tex]\cdot[/tex]([tex]\frac{1}{2}[/tex])[tex]^{n}[/tex] ) = 2

[Aleks855]

Nå som du har bruker kan du redigere dine egne innlegg fremfor å lage nye for å gjøre rettelser. På hvert av dine egne innlegg skal du kunne se dette ikonet:

[Mattebruker]

Takk for info , Aleks835. Heretter skal eg bruke "rettetasten ".

[jos]

Ved å kaste en mynt blir utfallsrommet [mynt, kron] eller ved å sette mynt = 0 og kron = 1: [0,1]

Den stokastiske variabelen X = antall kast for å få kron

Sannsynligheten for X = n er $\frac{1}{2^n}$

Forventningsverdien $E = 1 * \frac{1}{2} + 2 * \frac{1}{4} + 3 * \frac{1}{8} + \cdot\,\cdot\,+\, n*\frac{1}{2^n}$

Ved hjelp av CAS eller lommeregner ser man at forventningsverdien nærmer seg 2 når n blir stor.

Det kan også vises mer formelt:

$E = 1 * \frac{1}{2} + 2 * \frac{1}{4} + 3 * \frac{1}{8} + \cdot\,\cdot\,+\, n*\frac{1}{2^n}$

$\frac{1}{2}E = 1 * \frac{1}{4} + 2 * \frac{1}{8} + \cdot\,\cdot\,+ \,(n-1)\frac{1}{2^n} + n\frac{1}{2^{n+1}}$

$E -\frac{1}{2}E = \frac{1}{2}E = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +\,\cdot\,\cdot\,+ \,\frac{1}{2^n} - n\frac{1}

{2^{n+1}} = \frac{1}{2} * \frac{\frac{1}{2^n} - 1}{\frac{1}{2} - 1} - \frac{n}{2^{n + 1}}$

$E = \frac{\frac{1}{2^n} - 1}{\frac{1}{2} - 1} - \frac{n}{2^{n }} = \frac{\frac{1}{2^n} - 1}{-\frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n }} $

Dette uttrykket går mot 2 når n går mot uendelig.

[gjesten123]

Takk for gode svar

[gjesten123]

Kan jeg også spørre om hvordan jeg kan finne den momentgenererende funksjonen [tex]M_{x}(t)[/tex] til X?
Også videre hvordan jeg kan bruke denne momentgenererende funksjonen til å finne E(X), [tex]E(X)^{2}[/tex] og variansen V(X)?

[jos]

X er en geometrisk fordelt variabel hvor $ p = \frac{1}{2}$ slik at $M_x(t) = \sum_{ 1}^{\infty}({e^t\cdot\frac{1}{2}})^x =
\frac{\frac{1}{2}e^t}{1 - \frac{1}{2}e^t}\,$ gitt at $e^t\cdot\frac{1}{2} < 1$.

$M_x´(t) = \frac{\frac{1}{2}e^t}{(1 -\frac{1}{2}e^t)^2}$

$M_x´(0) = 2\,\,$ som er forventningen av $X, E(X)$.

$M_x´´(t) = \frac{\frac{1}{2}e^t(1 + \frac{1}{2}e^t)}{(1 - \frac{1}{2}e^t)^3}$

$M_x´´(0) = 6\,\,$ som er forventningen av $X^2,\,E(X^2)$

$var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 6 - 2^2 = 2$