Side 1 av 1
likelihood estimat
Lagt inn: 21/04-2021 12:40
av dgekela
Hallo. En viss type lyspære har en levetid som er eksponensialfordelt med parameter λ. En stikkprøve av n pærer gir levetidene x1, x2, . . . , xn.
Bestem maksimum-likelihoodestimatet av parameteren
Skjønner ikke hvordan man skal estimere denne.
Forstår at man må bruke eksponentialfunksjonen f(x)= λe^(- λx)
Men hva gjør man videre? Takk.
Re: likelihood estimat
Lagt inn: 21/04-2021 13:57
av Kay
Anta $X_1,X_2,\dots,X_n$ er et tilfeldig utvalg fra en generell $f(x;\theta)$-populasjon. For å finne sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (Maximum-likelihood estimate) kan du gjøre følgende
1) Finn simultan fordelingen til $X_1,X_2,\dots,X_n$
$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$
2) Definer rimelighetsfunksjonen
$$L(\theta)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$$
3) Vi kan forenkle rimelighetsfunksjonen i de fleste tilfeller ved å ta log-rimelighetsfunksjonen
$$l(\theta)=\ln(L(\theta))=\sum_{i=1}^n \ln(f(x_i;\theta))$$
4) Maksimer denne mhp. parameteren ved partiellderivasjon eller evt. fortegnstest, dvs. løs
$$\frac{\partial l}{\partial \theta}=0$$
5) Konkluder med å skrive opp estimatoren du får ut.
I dette tilfellet
[tex]L(\theta)=\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n x_i}=\frac{\lambda^n}{e^{\lambda\sum_{i=1}^n x_i}}\Rightarrow l(\theta)=\ln(L(\theta))=\ln \lambda^n-\lambda\sum_{i=1}^n x_i[/tex]
Så maksimerer vi ved å ta
[tex]\frac{\partial l}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n x_i=0\Rightarrow \frac{n}{\lambda}=\sum_{i=1}^n x_i \Rightarrow \lambda=\frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\Rightarrow \hat{\lambda}=\frac{N}{\sum_{i=1}^n X_i}[/tex]
Re: likelihood estimat
Lagt inn: 21/04-2021 14:04
av jos
Maksimum likelihood estmator for parameteren $\lambda$ i en eksponentiell fordeling er $\frac{n}{x_1 + x_2 + x_3 + \cdot\cdot\, + \, x_n}$
hvor $x_1, x_2, , , x_n$ er observasjonene og $n$ er antall observasjoner.
For en instruktiv forklaring, se denne videoen:
https://www.youtube.com/watch?v=p3T-_LMrvBc