matematikk.net

kunne jeg ha fått litt hjelp med denne oppgaven?

a) Trikset her er å bruke f.eks. AM-GM- ulikheten som sier at $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$ for ikkenegative reelle $x,y$.
Så fra definisjonen av følgene i oppgaven fås $b_{n}\ge a_{n}$ for alle $n\in\mathbb{N}$.

Dermed er $a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\ge \sqrt{a_n^2}=a_n$ og $b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le \frac{b_n+b_n}{2}=b_n$, for alle $n$, og ulikhetene følger.


Vi ser at følgen $(a_n)$ er monotont voksende og oppad begrenset av $v$, mens følgen $(b_n)$ er monotont avtagende og nedad begrenset av $u$. Dermed konvergerer begge utfra det monotone konvergensteoremet https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_ ... ce_theorem

b) Her er det lettest å jobbe seg frem baklengs: Ulikheten er ekvivalent med $0\le \frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}\le \frac{b_n-a_n}{2}$, som forenkles til $a_n\le \sqrt{a_nb_n}$. Denne vises lett fra at $b_n\ge a_n$. Anta at $(a_n)$ konvergerer mot $c$ og $(b_n)$ mot $d\ge c$. Ved å la $n\to \infty$ fås $0\le d-c\le \frac{d-c}{2}$, så $c=d$.