numeriske metoder - fikspunkt MAT111

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
ingerrodnes
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 03/03-2022 14:18

Hei:)
Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven:
hvordan vise at f har et fikspunkt i intervallet [1/2,6/5].
f(x)=((x*cosx)/2)+sinx

takk på forhånd
SpreVitenskapVidere
Cantor
Cantor
Innlegg: 148
Registrert: 19/11-2021 02:26
Sted: Oslo
Kontakt:

Generelt en funksjon f(x) har et fikspunkt hvis $f(x)=x$ for noen verdier for x i et gitt intervall .
\begin{align}
&f\left( x\right) =x\\
& f\left( x\right) -x=0\\
&\dfrac{xcos (x)}{2}+sin x-x =0\\
&\text{La oss kalle venstre side F(x), nå blir det bare å bevise at F(x) har et nullpunkt i intervallet }\\
& F\left( x\right) =\dfrac{xcos x}{2}+sin x-x\\
&F\left( \dfrac{1}{2}\right) =\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot cos\left( \dfrac{1}{2}\right) }{2}+sin(\dfrac{1}{2})-\dfrac{1}{2}\\
& =\dfrac{1}{4}\cos \left( \dfrac{1}{2}\right) +sin\left( \dfrac{1}{2}\right) -\dfrac{1}{2}\\
& =0,199>0\\
&F\left( \dfrac{6}{5}\right) =\dfrac{\dfrac{6 }{5}\cos \dfrac{6}{5}}{2}+sin\dfrac{6}{5}-\dfrac{6}{5}\\
&=\dfrac{3}{5}cos\dfrac{6}{5}+\sin \dfrac{6}{5}-\dfrac{6}{5}\\
& =-0,051<0\\

\end{align}

Siden $F(\frac{1}{2})>0 $ og $F(\frac{6}{5})<0$ ,så F(x) må ha et nullpunkt (passerer null) i intervallet $[ \frac{1}{2}, \frac{6}{5}]$
ifølge skjæringssetning.
\begin{align}

&F\left( x\right) =0\,\,i\left[ \dfrac{1}{2},\dfrac{6}{5}\right] \Rightarrow \\
&f\left( x\right) -x=0\Rightarrow f\left( x\right) =x \Rightarrow \text{f har et fikspunkt i intervallet}\\
\end{align}
Sist redigert av SpreVitenskapVidere den 07/03-2022 13:49, redigert 3 ganger totalt.
Livet er et kaotisk system, og vi kan ikke forutsi det i mer enn noen få sekunder. Så nyt livet ditt med å være omsorgsfull og delende.
Farhan
ingerrodnes
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 03/03-2022 14:18

Tusen takk! :D :D :D
Svar