Bruk av egenverdier til å finne matriseelementer

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
jes113344
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 29/03-2022 10:49

Sliter litt med en oppgave hvor man må bruke gitte egenverdier til å finne to ukjente elementer i en 2 x 2 matrise
Matrisen er
A =
4 1
a b
Egenverdiene er λ1 = 3 og λ2 = 5
Noen som vet hvordan man tar for seg en slik oppgave?
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Hvis vi ikke kjente egenverdiene, måtte vi finne dem ved å løse 2.gradslikningen $ (4 - \lambda)(b -\lambda) - a = 0 => \lambda^2
-(4 + b)\lambda + 4b -a = 0$ uttrykt ved a og b. Nå kjenner vi de to løsningene for $\lambda\,$, men ikke a og b. Fra skolematematikken vet vi at $\lambda_1 + \lambda_2 = 4 + b$ og $\lambda_1 * \lambda_2 = 4b - a$.

Det gir følgende likninger: $ \lambda_1 + \lambda_2 = 3 + 5 = 8 = 4 + b\,$ og $\lambda_1 * \lambda_2 = 3 * 5 = 15 = 4b - a$.

Det gir $b = 4, a = 1$
jes113344
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 29/03-2022 10:49

jos skrev: 29/03-2022 13:33 Hvis vi ikke kjente egenverdiene, måtte vi finne dem ved å løse 2.gradslikningen $ (4 - \lambda)(b -\lambda) - a = 0 => \lambda^2
-(4 + b)\lambda + 4b -a = 0$ uttrykt ved a og b. Nå kjenner vi de to løsningene for $\lambda\,$, men ikke a og b. Fra skolematematikken vet vi at $\lambda_1 + \lambda_2 = 4 + b$ og $\lambda_1 * \lambda_2 = 4b - a$.

Det gir følgende likninger: $ \lambda_1 + \lambda_2 = 3 + 5 = 8 = 4 + b\,$ og $\lambda_1 * \lambda_2 = 3 * 5 = 15 = 4b - a$.

Det gir $b = 4, a = 1$
Jeg forstår, takk!
Svar