matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med å forstå det boka sier:

La D være et subset av R^m. Da er et subset S av D åpent i D dersom det er for alle x € S en epsilon > 0 slik at (Den åpne ballen rundt x) [tex]\cap[/tex]
D ligger i S.

Så langt skjønner jeg, men boken fortsetter videre:
Dermed er et set åpent i D for hvert punkt i settet hvis alle nærliggende punkter enten er i settet eller på utsiden av D.

Problemet mitt ligger i «på utsiden av D». Hva mener dem med det? Trodde poenget var at vi lagde «baller» rundt enhver x og dersom alle ballene i tillegg til D er innenfor S så er S åpen? Legger også ved bildet av den originale teksten dersom jeg tolker det helt feil.

På forhånd; takk

Jeg håper følgende eksempel illustrerer poenget:

Betrakt $R^2$, la $D$ være x-aksen og $S$ være intervallet $(0,1)$ på x-aksen.

Nå er $S$ åpent i $D$, men $S$ er ikke åpent i $R^2$. (ser du hvorfor?)

Edit: Betrakt en ball $B_\epsilon (\vec{x}=(0.5,0))$ med radius $\epsilon$. Denne vil aldri være inneholdt i $S$ uansett valg av $\epsilon$, men betrakter vi istedet snittet $B_\epsilon (\vec{x}=(0.5,0)) \cap D$, så kan vi finne en $\epsilon$ slik at $B_\epsilon (\vec{x}=(0.5,0)) \cap D\subset S$, dermed er $\vec{x}=(0.5,0)$ et indre punkt (interior point) i $S$ mhp $D$, men ikke et indre punkt mhp $R^2$. (En mengde er åpen hvis alle dens punkter er indre punkter)

Når vi vurderer om S er åpent i D ser vi altså bort fra alle punkter utenfor D (altså $R^2\setminus D$). Problemet oppstår når vi ser på delmengder av lavere dimensjon enn den universale mengden.