Matematikk geolog - trenger hjelp!

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Aa95
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 4
Registrert: 28/09-2022 23:00

Oppgave 1
a) Velg en planteart som produserer blomster og tell antall kron- blad p ̊a k = 10 forskjellige blomster for den valgte arten. Lag en graf med antall kronblad p ̊a x−aksen og antall blomster p ̊a y−aksen. Denne grafen er en visuell representasjon av en funksjon f (x), hvor x = 1, 2, ... er antall kronblad, og f (x) viser hvor mange av de k plantene som har x kronblad.
b) Gjenta oppgave 1a) med n = 3 forskjellige blomsterproduserende planter.
Lag en graf for hver plantetype.
c) La g(x) være en funksjon som for hver x gir det totale antall blomster, fra tellingene utført i oppgave 1a) og 1b), med x kronblad. Lag en graf av denne funksjonen slik som i 1a) og 1b). Fra denne grafen observerer du at noen antall kronblad synes ̊a forekomme spesielt ofte. Hvilke antall er dette?
d) Fibonaccitallene er en mengde naturlige tall unikt bestemt som a0 = 0,
a1 = 1,
an+1 =an +an−1 for n≥1.
Bruk denne formelen til ̊a beregne de 10 første Fibonaccital- lene.
Hvor mange av de mest forekommende antall kronblad fra opp- gave 1c) var Fibonaccitall?
e) Vis at for Fibonaccitallene gjelder
a2n =an ·an+1 −an ·an−1.
Regn ut a2n for n = 4, 5 og 6 ved hjelp av denne formelen.
f) Vis at man kan regne ut summen av de n første Fibonacci
tallene ved hjelp av formelen:
a1 +a2 +a3 +...+an =an+2 −1.
Regn ut summen av de 10 første Fibonacci tallene ved hjelp av denne formelen.


g) Vis ved direkte numerisk beregning med desimaltall at n ̊ar n vokser over alle grenser nærmer forholdet an+1/an seg en kon- stant, som vi betegner med φ.
Finn konstanten φ med en nøyaktighet p ̊a fire siffer. Dette oppn ̊ar dere ved ̊a beregne forholdet an+1/an for s ̊a store n at det er ingen endring i de fire første sifrene n ̊ar en g ̊ar fra n til n+1.
h) Det er gitt at
lim an+1 n→∞ an
er lik konstanten φ.
Vis at denne konstanten er en løsning til likningen
i) Vis at
φ = 1 + φ1 √
φ=1+ 5 2
er den eneste positive løsningen av likningen i 1h).
j) Vis at den negative løsningen av likningen i 1h) kan skrives som
ψ = −1/φ.
k) Vis at
φn+1 =φn +φn−1 foralle n≥1.
l) La a og b være vilk ̊arlige reelle tall og definer for n = 0, 1, 2, ...
Gn = aφn + bψn. Laa=1/2,b=3/2ogberegnGn forn=1,2,3,4.
m) Vis ved direkte regning at dersom

a=5+ 5, 20
√ b=5− 5,
20 s ̊a er G1, ..., G4 rasjonale tall .
Svar