Jeg forstår ikke hvordan man finner hvilken form en partikulær løsning til en inhomogen differensialligning skal ha. I pkt. 1 regner man ut den inhomogene differensialligningen som om den er en homogen differensialligning og får [tex]r_1=-1[/tex] og [tex]r_2=-2[/tex]. Hvorfor velges det i pkt. 1 bare [tex]r_1=-1[/tex] og ikke [tex]r_2=-2[/tex]? Jeg ser at [tex]L_2x=0[/tex] er kommer fra at [tex](r+1)=0[/tex] når [tex]r_1=-1[/tex]. I pkt. 3. og 4. skjønner jeg ikke hvordan man finner [tex]u^{*}[/tex]. Hvordan vet man hva man skal velge i pkt. 4 for [tex]u^{*}[/tex]?
EKS:
[tex]x''+3x'+2x=2e^{^{-t}}[/tex]
1.
"Røtter" og "Basisløsninger":
[tex]r=-1[/tex] og [tex]e^{-t}[/tex]
2.
"Røtter" og "Basisløsninger":
[tex]L_2x=0[/tex] og [tex]r+1=0[/tex]
[tex]L_1x=0[/tex] og [tex](r+1)(r+2)=0[/tex]
[tex]Lx=0[/tex] og [tex](r+1)^2(r+2)=0[/tex]
3.
[tex]Lx=0[/tex] og [tex]e^{-t}, te^{^{-t}}, e^{-2t}[/tex]
[tex]L_1x=0[/tex] og [tex]e^{-t}, e^{-2t}[/tex]
[tex]u^{*}[/tex] og [tex]te^{-t}[/tex]
4.
[tex]u^{*}=Ate^{_{-t}}[/tex]
Jeg forstår resten av utregningen:
[tex]u^{*}(t)''+3u^{*}(t)'+2u^{*}=2e^{-t}[/tex]
[tex]A=2[/tex]
[tex]u^{*}=2te^{-t}[/tex]
Inhomogene differensiallikninger
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi har den inhomogene likninhgen: $ x´´+ 3x´+ 2x = 2e^{-t}$ Den tilhørende homogene likningen $ x´´+ 3x´+ 2x = 0$ har løsningen $x_h = Ae^{-t} + Be^{-2t}\,$. Den partikulære løsningen må være en funksjon av "samme type" som $2e^{-t}$, altså på formen $e^{-t}Q\,$ hvor Q er et polynom. Her er graden av plynomet Q vanligvis det samme som graden til polynomet som utgjør faktoren til $e^{-t}$, her 2, et polynom av grad 0. Men siden $e^{-t}$ er en løsning av den homogene likningen, må vi gå opp en grad i valget av Q slik at Q blir At + B hvor det laveste leddet B = 0. Den partikulære løsningen blie dermed $e^{-t}At$.
Vår oppgave blir nå å bestemme A slik at $e^{-t}At$ passer i den partikulære likningen.
$x_p = e^{-t}At$
$x_p´ = Ae^{-t} -Ate^{-t}$
$x_p´´ = Ate^{-t} - 2Ae^{-t}$:
Vi setter inn for $x, x´$ og $x´$´på venstresiden i likningen $ x´´+ 3x´+ 2x = 2e^{-t}$ og sammenlikner resultatet med høyresiden $2e^{-t}$
$Ate^{-t} -2Ae^{-t} +3Ae^{-t} -3Ate^{-t} + 2Ate^{-t} = Ae^{-t} = 2e^{-t} => A = 2$
Altså har vi at den partikulære løsningen $x_p=2te^{-t}$
Den generelle løsningen av likningen$\, x = x_h + x_p = Ae^{-t} + Be^{-2t} +2te^{-t}$
Vår oppgave blir nå å bestemme A slik at $e^{-t}At$ passer i den partikulære likningen.
$x_p = e^{-t}At$
$x_p´ = Ae^{-t} -Ate^{-t}$
$x_p´´ = Ate^{-t} - 2Ae^{-t}$:
Vi setter inn for $x, x´$ og $x´$´på venstresiden i likningen $ x´´+ 3x´+ 2x = 2e^{-t}$ og sammenlikner resultatet med høyresiden $2e^{-t}$
$Ate^{-t} -2Ae^{-t} +3Ae^{-t} -3Ate^{-t} + 2Ate^{-t} = Ae^{-t} = 2e^{-t} => A = 2$
Altså har vi at den partikulære løsningen $x_p=2te^{-t}$
Den generelle løsningen av likningen$\, x = x_h + x_p = Ae^{-t} + Be^{-2t} +2te^{-t}$
Takk for svar!
Jeg fant på youtube en som forklarer hvordan man finner [tex]x_{p}(t)=u^{*}(t)[/tex]. Jeg må finne [tex]u^{*}(t)[/tex] slik at det ikke matcher med den homogene løsningen til den inhomogene differensialligningen og hvis noe er likt, må jeg multiplisere med en [tex]t[/tex].
https://www.youtube.com/watch?v=frvVDRJrEiY
Jeg fant på youtube en som forklarer hvordan man finner [tex]x_{p}(t)=u^{*}(t)[/tex]. Jeg må finne [tex]u^{*}(t)[/tex] slik at det ikke matcher med den homogene løsningen til den inhomogene differensialligningen og hvis noe er likt, må jeg multiplisere med en [tex]t[/tex].
https://www.youtube.com/watch?v=frvVDRJrEiY
Takk for gjensvar og lenken til videoen! Legg merke til at forderagsholderens kriterium for å modifisere gjetningen angående den partikulære løsningen, "multipliser polynomet med t hvis gjetningen inneholder repetisjoner av ledd i den homogene løsningen" blir dekket av kriteriet som foreslås i mitt forrige innlegg: Hvis eksponentuttrykket i gjetningen er en løsning av den homogene likningen, så øk graden av gjetningens polynomdel med én grad. Dette siste kriteriet synes meg lettere å anvende. Vi ser jo f. eks. direkte at $e^{-t}$ er en løsning av den homogene likningen hvis generelle løsning er $Ae^{-t} + Be^{-2t}$. En grei fremstilling av saken finnes i kapitlet om differensiallikninger i Tom Lindstrøms lærebok Kalkulus som er i bruk ved UiO.