Differensialligning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Lulu
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 7
Registrert: 21/05-2022 01:42

Kan noen hjelpe meg ved å vise den videre utregningen av følgende differensialligning?
Løsningen er: [tex]x(t)=(-t+\alpha)cos\frac{t}{2}+(2ln(sin\frac{t}{2})+\beta)sin\frac{t}{2}[/tex]

[tex]4x''+x=\frac{2}{sin\frac{t}{2}}[/tex], [tex]0<t<2\pi \Rightarrow sin\frac{t}{2}>0[/tex]

[tex]x''+\frac{1}{4}x=\frac{1}{2sin(t/2)}[/tex]

[tex]r^2+\frac{1}{4}=0[/tex]


[tex]r_1=0+\frac{1}{2}i[/tex] og [tex]r_2=0-\frac{1}{2}i[/tex]

[tex]x_c=C_1cos(t/2)+C_2sin(t/2)[/tex]

[tex]u_1=cos(t/2)\Rightarrow u_1'=-\frac{1}{2}sin(t/2)[/tex]

[tex]u_2=sin(t/2)\Rightarrow u_2'=\frac{1}{2}cos(t/2)[/tex]

Kommentar: Her skal [tex]C_1'=-1[/tex] og [tex]C_2'=\frac{cos(t/2)}{sin(t/2)}[/tex] og etterpå skal høyresiden integreres og settes inn i: [tex]x(t)=C_1u_1+C_2u_2[/tex]


[tex]I: cos(t/2)C_1'+C_2'sin(t/2)=0[/tex]

[tex]II:-\frac{1}{2}sin(t/2)C_1'+\frac{1}{2}cos(t/2)C_2'=\frac{1}{2sin(t/2)}[/tex]

[tex]I: C_1'=-\frac{sin(t/2)}{cos(t/2)}C_2'\vee C_2'=-\frac{cos(t/2)}{sin(t/2)}C_1'[/tex]
Svar