Heisproblem

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
2468
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 27/02-2023 16:54

I et bygg med heis er det 5 etasjer (1. etasje, 2. etasje, ..., 5. etasje).

4 personer går inn i heisen i første etasje. På hvor mange forskjellige måter kan disse personene gå ut av heisen igjen?
Du kan anta at ingen går av i 1. etasje og at ingen personer går inn i heisen fra 2. til 5. etasje. Du trenger kun å holde styr på hvor mange som går av i en etasje, ikke hvem.
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Dette er et problem som går ut på å bestemme antall mulige måter å trekke et uordnet utvalg med tilbakelegging. Vi har for eksempel en eske med fire lapper, én lapp for hver etasje fra 2 til 5, ordnet fra venstre mot høyre. Vi skriver et tall, 0,1,2, 3 eller 4 på hver av lappene slik at summen av de fire tallene blir 4. Dette blir trekning med tilbakelegging i den forstand at tallet vi skriver på hver lapp står for hvor mange ganger vi trekker denne lappen. En tallkombinasjon, f.eks. 1,0,1,2, vil videre symbolisere at 1 person går av i 2. etg, 0 i 3., 1 i 4. og 2 i 5. etg., og tallkombinasjonen 0,0,0,4 står for at alle personene går av i 5. etg. Hvor mange slike tallkombinasjoner kan vi ha?

Ved å sette en loddrett strek | for hver person som skal av i en bestemt etasje og sette x for skillet mellom to etasjer, vil f. eks. tallkombinasjonen 2,1,1,0 symboliseres slik: ||x|x|x, og 1,1,1,1 slik |x|x|x|. Her vil hver kombinasjon av loddrette streker og x-er unikt bestemme hvor mange personer som går av i hver etasje. Men dette reduserer problemet til å bestemme hvor mange måter vi kan plassere 3 x-er blant fire loddrette streker. Dette er et kjent problem. Det er å finne binomialkoeffisienten $\binom{4 + 3}{3} = \binom{7}{3} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3} = 35$.
Sist redigert av jos den 07/03-2023 14:05, redigert 1 gang totalt.
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Tilleggsspørsmål :

La A , B , C og D vere namna på dei fire personane .

På kor mange måtar kan A ,B , C og D gå ut av heisen ?

NB ! Når to eller fleire personar( eksempel A , B , C og D ) går ut av heisen samtidig , blir dette rekna som eitt tilfelle.
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Hver av personene A,B,C og D har 4 etasjevalg. Antall valgkombinasjoner blir dermed $4^4 = 256.$
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Elegant løysing !

Tilleggspørsmål: A og D får ikkje lov å forlate heisen samtidig. På kor mange måtar kan dei 4 personane forlate heisen no ?
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

$3$ av de $4$ har fire valg hver, mens den fjerde, A eller D, har tre valg. Det blir $4^3 * 3 = 192$ kombinasjoner.
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Har resonnert litt annleis. Betraktar først dei tilfella der A og D går ut av heisen i same etasje. Da får eg

Antal tilfelle: [tex]\binom{4}{1}[/tex][tex]\cdot[/tex] ( [tex]\binom{2}{0}[/tex] + [tex]\binom{2}{1}[/tex] + [tex]\binom{2}{2}[/tex] ) = 4[tex]\cdot[/tex]( 1 + 2 + 1 ) = 16

Antal kombinasjonar der A og D er åtskilde = ( 256 -16 ) = 240
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

$\binom{2}{0} + \binom{2}{1} + \binom{2}{2} = 1 + 2 + 1 = 4$ angir for en gitt etasje antall måter gruppen A og D enten kan gå av heisen alene, 1, eller sammen med én av de to andre, 2 eller sammen med de to andre, 1. Men dette fanger ikke inn antall alternativer B og C kan velge mellom for hvert av tilfellene. Hvis A og D går av alene i en etasje, er det 3 avgangsetasjer ledige for for av de to andre, dvs. 3 * 3 = 9 alternativer. Hvis A og D går av i en etasje sammen med bare én av de to andre, er antallet alternativer 3 for hver av disse to andre, dvs. 2 * 3 = 6 og hvis alle går av i samme etasje er det bare ett alternativ = 1. For én etasje er det altså 9 + 6 +1 = 16 alternativer og for 4 etasjer 4 * 16 = 64 alternativer for at A og D som gruppe skal gå av i samme etasje. Det betyr at det er 256 - 64 = 192 måter de 4 kan forlate heisen på slik at A og D aldri forlater heisen i samme etasje.
Sist redigert av jos den 11/03-2023 23:13, redigert 1 gang totalt.
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Du har sjølvsagt heilt rett ! Får skulde på "tunnelsyn" der all merksemd var retta mot dei ulike alternativa i den eine etasjen kor A og D har felles sorti.
Takk for sakleg kommunikasjon.

Kva med oppfølgar ?
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Takk for tilbakemelding! Det er ikke så mye trafikk her for tiden, så vi Tordenskiolds soldater for skolematematikken får holde på!
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Siste nytt fra heisfronten.
Fire personer tar heisen fra 1.etg i en 13 etasjer høy bygning med heistilgang i alle etasjer. Ingen av personene i heisen går av i samme etasje, og ingen går av i naboetasjer. På hvor mange måter, mønstre, kan disse 4 personene da fordele sine avganger?
For den som skulle lure: naboetasjer er etasjer som ikke har noen etasjer mellom seg.
Svar