Grenseverdi

[Taylor-]

Jeg har problemer med å finne grenseverdien lim[sub]x->0[/sub] (x-sinx)/(x-tanx) både vha. L'Hôptials regel og deretter Taylors formel. Burde klart det med L'H, men neida.

[Solar Plexsus]

Anvender du L'Hopitals regel, får du at

lim[sub]x->0[/sub] (x - sinx) / (x - tanx)
= lim[sub]x->0[/sub] (x - sinx)' / (x - tanx)'
= lim[sub]x->0[/sub] (1 - cosx) / (1 - 1/cos[sup]2[/sup]x)
= lim[sub]x->0[/sub] cos[sup]2[/sup]x (1 - cosx) / (cos[sup]2[/sup]x - 1)
= lim[sub]x->0[/sub] cos[sup]2[/sup]x (1 - cosx) / [(cosx - 1)(cosx + 1)]
= lim[sub]x->0[/sub] -cos[sup]2[/sup]x / (cosx + 1)
= -cos[sup]2[/sup]0 / (cos0 + 1)
= -1[sup]2[/sup] / (1 + 1)
= -1/2.

[Gjest]

Takk, klarte det med Taylors formel selv, det var mye lettere.

Hva med lim[sub]x->0[/sub] sin[sup]2[/sup]x/(tanx -x) ?

[Solar Plexsus]

Bruker du L'Hopitals regel, får du

lim[sub]x->0[/sub] sin[sup]2[/sup]x / (tanx - x) (Dette er et "0/0"-uttrykk)

= lim[sub]x->0[/sub] [sin[sup]2[/sup]x]' / (tanx - x)'

= lim[sub]x->0[/sub] [2*sinx*cosx] / (1/cos[sup]2[/sup]x - 1) (Igjen får vi et "0/0"-uttrykk)

= lim[sub]x->0[/sub] [sin(2x)]' / (1/cos[sup]2[/sup]x - 1)'

= lim[sub]x->0[/sub] 2*cos(2x) / [(-2)*(-sinx)/cos[sup]3[/sup]x]

= lim[sub]x->0[/sub] cos[sup]3[/sup]x*cos(2x) / sinx.

Den siste grenseverdien (og følgelig også lim[sub]x->0[/sub] sin[sup]2[/sup]x / (tanx - x)) eksisterer ikke fordi telleren går mot 1 og nevneren går mot 0 når x->0.

[Eva]

Hei!
Jeg vet ikke hva jeg skal gjøre når jeg skal bruke Taylors formel her. Antakelig fordi jeg ikke greier å finne ut av Taylorpolynomet til tan x.
Noen som har noe forslag?

Mvh Eva

[Solar Plexsus]

Ved å erstatte tanx = sinx/cosx får vi at

lim[sub]x->0[/sub] sin[sup]2[/sup]x / (tanx - x) = lim[sub]x->0[/sub] cosx*sin[sup]2[/sup]x / (sinx - x*cosx).

Maclaurinrekkene til cosinus og sinus er

cosx = 1 - x[sup]2[/sup]/2 + x[sup]4[/sup]/24 + ... ,
sinx = x - x[sup]3[/sup]/6 + x[sup]5[/sup]/120 + .....

Dermed blir

cosx*sin[sup]2[/sup]x = (1 - x[sup]2[/sup]/2 + x[sup]4[/sup]/24 + ...)*(x - x[sup]3[/sup]/6 + x[sup]5[/sup]/120 + ...)[sup]2[/sup] = x[sup]2[/sup] + [symbol:sum][sub]n≥3[/sub] a[sub]n[/sub]*x[sup]n[/sup],

sinx - x*cosx = (x - x[sup]3[/sup]/6 + x[sup]5[/sup]/120 +....) - x(1 - x[sup]2[/sup]/2 + x[sup]4[/sup]/24 + ...) = x[sup]3[/sup]/3 + [symbol:sum][sub]n≥4[/sub]b[sub]n[/sub]*x[sup]n[/sup],

som igjen medfører at

cosx*sin[sup]2[/sup]x / (sinx - x*cosx)
= (x[sup]2[/sup] + [symbol:sum][sub]n≥3 [/sub]a[sub]n[/sub]*x[sup]n[/sup]) / (x[sup]3[/sup]/3 + [symbol:sum][sub]n≥4[/sub]b[sub]n[/sub]*x[sup]n[/sup]) (deler på x[sup]2[/sup] i teller og nevner)
= (1 + [symbol:sum][sub]n≥3 [/sub]a[sub]n[/sub]*x[sup]n-2[/sup]) / (x/3 + [symbol:sum][sub]n≥4[/sub]b[sub]n[/sub]*x[sup]n-2[/sup])
-> 1/0 = [symbol:uendelig] når x->0.

[Jerry]

Taylorpolynomet for tangens er:
[tex]x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)[/tex]

Og uten å erstatte får vi:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac {x -sinx}{x-tanx}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac {x - (x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5))}{x - (x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{-\frac {1}{6} + O(x^2)}{\frac{1}{3} - O(x^2)} = -\frac{1}{2} [/tex]