Hvordan går jeg frem på denne oppgaven? Kapittelet er differensligninger, men lurer på hvordan det kan kobles med denne oppgaven.
Du har invitert noen venner på middag og bestemmer deg for å gi forskjellig farge på serviettene til personer som sitter ved siden av hverandre. Du lurer på hvor mange måter dette kan gjøres på når du har servietter i fire forskjellige farger. (Vi antar at du har nok servietter av hver av fargene.)
La an være antall måter å plassere serviettene på dersom det er n personer (med faste plasser) rundt bordet. Vis først at a2 = 12 og a3 = 24. Hvor mange slike plasseringer av serviettene finnes dersom dere er 11 rundt bordet?
Kombinatorikk/differenslikning?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Med 4 farger og 2 personer har man 4 alternativer på plass 1, og for hver av disse, 3 alternativer for plass 2.
4 farger og 2 personer gir dermed 4 * 3 = 12 kombinasjoner. Med 4 farger og 3 personer gis 4 * 3 * 2 = 24 kombinasjoner da servietten på plass 3 må ha forskjellig farge fra serviettene på plass 1 og 2.
Hvis alle de 11 personene satt på samme side av et langbord, ville antallet kombinasjoner av 4 ulikefarvede servietter være $ 4 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 4 * 3^{10}$. Men selskapet sitter rundt et bord slik at personen på plass 11 har personene på plass 10 og plass 1 som naboer. Vi får derfor to ulike situasjoner: den situasjonen hvor plass 10 og plass 1 får samfargede servietter, og den hvor de ikke gjør det. Med lik farge på serviettene på plass 10 og 1 gis følgende antall kombinasjoner. $4 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 1 * 3 = 4 * 3^9$. (Med kravet om at fargen på plass 10 skal følge fargen på plass 1 har man altså ikke noe valg for denne plassen). Med ulike farger for plass 10 og 1: $4 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 2 * 2 = 4 * 3^8 * 2^2$. (Her fås 2 valg for plass 10, da fargen på servietten her skal være forskjellig fra plass 1 og plass 9, og 2 valg for plass 11).
Til sammen $ 4 * 3^9 + 4 * 3^8 * 2^2 = 4 * 3^8 * (3 + 4) = 4 * 7 * 3^8$.
4 farger og 2 personer gir dermed 4 * 3 = 12 kombinasjoner. Med 4 farger og 3 personer gis 4 * 3 * 2 = 24 kombinasjoner da servietten på plass 3 må ha forskjellig farge fra serviettene på plass 1 og 2.
Hvis alle de 11 personene satt på samme side av et langbord, ville antallet kombinasjoner av 4 ulikefarvede servietter være $ 4 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 4 * 3^{10}$. Men selskapet sitter rundt et bord slik at personen på plass 11 har personene på plass 10 og plass 1 som naboer. Vi får derfor to ulike situasjoner: den situasjonen hvor plass 10 og plass 1 får samfargede servietter, og den hvor de ikke gjør det. Med lik farge på serviettene på plass 10 og 1 gis følgende antall kombinasjoner. $4 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 1 * 3 = 4 * 3^9$. (Med kravet om at fargen på plass 10 skal følge fargen på plass 1 har man altså ikke noe valg for denne plassen). Med ulike farger for plass 10 og 1: $4 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 2 * 2 = 4 * 3^8 * 2^2$. (Her fås 2 valg for plass 10, da fargen på servietten her skal være forskjellig fra plass 1 og plass 9, og 2 valg for plass 11).
Til sammen $ 4 * 3^9 + 4 * 3^8 * 2^2 = 4 * 3^8 * (3 + 4) = 4 * 7 * 3^8$.